Точки Лебега для функций из обобщенных классов Соболева Mpa(X) в критическом случае

  • Сергей Александрович Бондарев Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Аннотация

Классическая теорема Лебега утверждает, что для суммируемой функции почти любая точка (за исключением множества нулевой меры) является ее точкой Лебега. Множество точек, не являющихся точками Лебега, называют  исключительным. Для более регулярных функций (например, принадлежащих определенному функциональному  пространству) можно оценивать «размер» исключительного множества с помощью более тонких, чем мера, характеристик. В работе исследуются свойства точек Лебега для функций из классов Соболева на произвольных метрических пространствах в критическом случае γ = α p, где γ – число, играющее роль размерности пространства,  α, p –показатели гладкости и суммируемости соответственно. Получены оценки на «размер» исключительного  множества в терминах емкостей и размерности Хаусдорфа, в частности показано, что исключительное множество  имеет нулевую емкость и его размерность Хаусдорфа равна нулю. Доказана экспоненциальная скорость сходимости для точек Лебега. В докритическом случае γ > αp похожие результаты известны.

Биография автора

Сергей Александрович Бондарев, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

аспирант кафедры теории функций механико-математического факультета. Научный руководитель – доктор физико-математических наук,  профессор В. Г. Кротов

Литература

1. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. Москва: Мир; 1973. 342 с. 2. Federer H, Ziemer W. The Lebesgue sets of a function whose distribution derivatives are p­th power summable. Indiana University Mathematics Journal. 1973;22(2):139 –158. DOI: 10.1512/iumj.1973.22.22013.
3. Bagby T, Ziemer WP. Pointwise differentiability and absolute continuity. Transactions of the American Mathematical Society. 1974;191:129 –148.
4. Calderón CP, Fabes EB, Riviere NM. Maximal smoothing operators. Indiana University Mathematics Journal. 1974;23: 889 – 898. DOI: 10.1512/iumj.1974.23.23073. 5. Meyers NG. Taylor expansion of Bessel potentials. Indiana University Mathematics Journal. 1974;23:1043–1049. DOI: 10.1512/iumj.1974.23.23085.
6. Hajłasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric space. Potential Analysis. 1996;5(4):403– 415. DOI: 10.1007/BF00275475. 7. Hajłasz P, Kinnunen J. Hölder quasicontinuity of Sobolev functions on metric spaces. Revista Matemática Iberoamericana. 1998;14(3):601– 622. DOI: 10.4171/RMI/246. 8. Kinnunen J, Latvala V. Lebesgue points for Sobolev functions on metric spaces. Revista Matemática Iberoamericana. 2002; 18(3):685–700. DOI: 10.4171/RMI/332. 9. Прохорович МА. Емкости и точки Лебега для дробных классов Хайлаша – Соболева на метрических пространствах с мерой. Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико­математических наук. 2006;1:19–23. 10. Прохорович МА. Меры Хаусдорфа и точки Лебега для классов Соболева, a > 0, на пространствах однородного типа. Математические заметки. 2009;85(4):616 – 621. DOI: 10.4213/mzm6642. 11. Bondarev SA, Krotov VG. Fine properties of Functions from Hajłasz – Sobolev classes M p a, p > 0. I. Lebesgue points. Journal of Contemporary Mathematical Analysis. 2016;51(6):282–295. DOI: 10.3103/S1068362316060029.
12. Bondarev SA, Krotov VG. Fine properties of Functions from Hajłasz – Sobolev classes M p a, p > 0. II. Lusin’s approximation. Journal of Contemporary Mathematical Analysis. 2017;52(1):30 –37. DOI: 10.3103/S1068362317010046.
13. Yang D. New characterization of Hajłasz – Sobolev spaces on metric spaces. Science in China. Series A: Mathematics. 2003; 46(5):675– 689. DOI: 10.1360/02ys0343.
14. Кротов ВГ, Порабкович АИ. Оценки Lp­осцилляций функций при p > 0. Математические заметки. 2015;97(3):407– 420. DOI: 10.4213/mzm10600. 15. Kinnunen J, Martio O. The Sobolev capacity on metric spaces. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica. 1996; 21:367–382.
16. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. Berlin: Springer­Verlag; 2001. 141 p. 17. Порабкович АИ. Самоулучшение Lp­неравенства Пуанкаре при p > 0. Чебышевский сборник. 2016;17(1­57):187–200.
Опубликован
2019-01-19
Ключевые слова
анализ на метрических пространствах с мерой, пространства Соболева, тонкие свойства  функций, точки Лебега
Как цитировать
Бондарев, С. (2019). Точки Лебега для функций из обобщенных классов Соболева Mpa(X) в критическом случае. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, (3), 4-11. извлечено от https://journals.bsu.by/index.php/mathematics/article/view/1013
Раздел
Вещественный, комплексный и функциональный анализ