Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными

  • Василий Михайлович Волков Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь
  • Елена Владимировна Проконина Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Аннотация

Рассмотрена проблема построения эффективных разностных схем и итерационных методов для решения задач анизотропной диффузии в области произвольной геометрии. Для упрощения постановки краевых условий Неймана использован метод фиктивных областей. На примере модельной двумерной задачи о распределении потенциала в кольцевом изолированном анизотропном проводнике проведен сравнительный анализ эффективности некоторых перспективных разностных схем и итерационных методов с точки зрения их сочетаемости с методом фиктивных областей. На основе численных экспериментов получены эмпирические оценки асимптотики роста количества итераций метода бисопряженных градиентов с переобусловливателями Фурье – Якоби и неполной LU-факторизации при уменьшении шага сетки и величины малого параметра, определяющего продолжение коэффициента проводимости в методе фиктивных областей. Показано, что для одной из рассмотренных схем переобусловливатель Фурье – Якоби является спектрально оптимальным и позволяет устранить асимптотическую зависимость скорости сходимости как от величины шага сетки, так и от значения малого параметра в методе фиктивных областей.

Биографии авторов

Василий Михайлович Волков, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

доктор физико-математических наук; профессор кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования механико-математического факультета

Елена Владимировна Проконина, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

старший преподаватель кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования механико-математического факультета

Литература

1. Коновалов АН. Метод фиктивных областей в задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости с учетом капиллярных сил. Численные методы механики сплошной среды. 1972;3(5):52– 68.
2. Коновалов АН, Конюх ГВ, Цуриков НВ. О принципах построения итерационных процессов в методе фиктивных областей. В: Вариационные методы в задачах численного анализа: сборник научных трудов. Новосибирск: Сибирское отделение АН СССР; 1986. с. 37–52.
3. Коновалов АН. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука; 1988.
4. Вабищевич ПН, Гассиев РВ, Пулатов ПА. Вычислительная реализация метода фиктивных областей для эллиптических уравнений на основе попеременно-треугольного метода. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1987;27(9):1381–1387.
5. Вабищевич ПН. Метод фиктивных областей в задачах математической физики. Москва: УРСС; 2016.
6. Самарский AA. Теория разностных схем. Москва: Наука; 1989.
7. Turovets S, Volkov V, Zherdetsky A, Prakonina A, Malony AD. А 3D finite-difference BiCG iterative solver with the Fourier – Jacobi preconditioner for the anisotropic EIT/EEG forward problem. Computational and Mathematical Methods in Medicine. 2014;2014:12. DOI: 10.1155/2014/426902.
8. Самарский AA, Мажукин ВИ, Матус ПП, Шишкин ГИ. Монотонные разностные схемы для уравнений со смешанными производными. Математическое моделирование. 2001;13(2):17–26.
9. Rybak IV. Monotone and conservative difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives. Mathematical Modelling and Analysis. 2004;9(2):169 –178.
10. Волков ВМ, Проконина ЕВ. Разностные схемы и итерационные методы для многомерных эллиптических уравнений со смешанными производными. Весцi Нацыянальнай акадэміі навук Беларусi. Серыя фiзіка­матэматычных навук. 2018;54(4):454 – 459. DOI: 10.29235/1561-2430-2018-54-4-454-459.
11. Barrett R, Berry M, Chan TF, Demmel J, Donato J, Dongarra J, et al. Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods. Philadelphia: SIAM; 1994. 143 p.
12. Мартыненко СИ. Универсальная многосеточная технология для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных на структурированных сетках. Вычислительные методы и программирование. 2000;1(1):83–102.
Опубликован
2019-04-08

Просмотров аннотации: 115
Загрузок PDF: 20
Ключевые слова: разностные схемы, эллиптические уравнения, смешанные производные, итерационные методы, метод фиктивных областей
Как цитировать
Волков В. М., Проконина Е. В. Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными // Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2019. 1. С. 69-76.