Единственность производных Губинелли высших порядков и аналог теоремы Дуба – Мейера для грубых траекторий с произвольным положительным показателем Гёльдера

  • Максим Михайлович Васьковский Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь https://orcid.org/0000-0001-5769-3678

Аннотация

Исследуются свойства производных Губинелли высших порядков от управляемых грубых траекторий, имеющих произвольный положительный показатель Гёльдера. Используется понятие (α, β)-грубого отображения, на основе которого даются достаточные условия, обеспечивающие единственность производных Губинелли высших порядков. С помощью теоремы о единственности производных Губинелли высших порядков доказывается аналог теоремы Дуба – Мейера для грубых траекторий с произвольным положительным показателем Гёльдера. В заключительной части показывается, что закон локального повторного логарифма для дробного броуновского движения обеспечивает применимость основных результатов настоящей статьи к интегрированию по многомерному дробному броуновскому движению с произвольным индексом Херста. Приводятся примеры, демонстрирующие связь грубых потраекторных интегралов с интегралами Ито и Стратоновича.

Биография автора

Максим Михайлович Васьковский, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

доктор физико-математических наук, доцент; заведующий кафедрой высшей математики факультета прикладной математики и информатики

Литература

  1. Lyons TJ. Differential equations driven by rough signals. Revista Matemática Iberoamericana. 1998;14(2):215–310. DOI: 10.4171/rmi/240.
  2. Friz PK, Hairer M. A course on rough paths: with an introduction to regularity structures. Cham: Springer; 2014. XIV, 251 p. (Universitext). DOI: 10.1007/978-3-319-08332-2.
  3. Gubinelli M. Controlling rough paths. Journal of Functional Analysis. 2004;216(1):86–140. DOI: 10.1016/j.jfa.2004.01.002.
  4. Coutin L, Qian Z. Stochastic analysis, rough path analysis and fractional Brownian motions. Probability Theory and Related Fields. 2002;122(1):108–140. DOI: 10.1007/s004400100158.
  5. Baudoin F, Coutin L. Operators associated with a stochastic differential equation driven by fractional Brownian motions. Stochastic Processes and their Applications. 2007;117(5):550–574. DOI: 10.1016/J.SPA.2006.09.004.
  6. Neuenkirch A, Nourdin I, Rößler A, Tindel S. Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic differential equations. Annales de l’Institut Henri Poincaré. Probabilités et Statistiques. 2009;45(1):157–174. DOI: 10.1214/07-aihp159.
  7. Vaskouski ММ, Kachan IV. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus. 2018;62(4):398–405. Russian. DOI: 10.29235/1561-8323-2018-62-4-398-405.
  8. Vaskouski M, Kachan I. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3. Stochastic Analysis and Applications. 2018;36(6):909–931. DOI: 10.1080/07362994.2018.1483247.
  9. Vas’kovskii ММ. Mixed-type stochastic differential equations driven by standard and fractional Brownian motions with Hurst indices greater than 1/3. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series. 2020;56(1):36–50. Russian. DOI: 10.29235/1561-2430-2020-56-1-36-50.
  10. Levakov АА, Vaskouski ММ. Stokhasticheskie differentsial’nye uravneniya i vklyucheniya [Stochastic differential equations and inclusions]. Minsk: Belarusian State University; 2019. 495 p. Russian.
  11. Vaskouski ММ. [Existence and uniqueness of solutions of differential equations weakly controlled by rough paths of arbitrary positive Holder index]. Differentsial’nye uravneniya. 2021;57(10):1305–1317. Russian. DOI: 10.31857/S0374064121100022.
  12. Vaskouski ММ. [Stability of solutions of stochastic differential equations weakly controlled by rough paths of arbitrary positive Holder index]. Differentsial’nye uravneniya. 2021;57(11):1443–1449. Russian. DOI: 10.31857/S0374064121110017.
  13. Lyons T, Victoir N. An extension theorem to rough paths. Annales de l’Institut Henri Poincaré. Analyse Non Linéaire. 2007;24(5):835–847. DOI: 10.1016/j.anihpc.2006.07.004.
  14. Biagini F, Hu Y, Øksendal B, Zhang T. Stochastic calculus for fractional Brownian motion and applications. London: Springer; 2008. XII, 330 p. (Probability and its applications). DOI: 10.1007/978-1-84628-797-8.
  15. Watanabe S, Ikeda N. Stochastic differential equations and diffusion processes. Amsterdam: North-Holland Publishing Company; 1981. XIV, 464 p. (North-Holland mathematical library; volume 24). Co-published by the Kodansha Ltd. Russian edition: Watanabe S, Ikeda N. Stokhasticheskie differentsial’nye uravneniya i diffuzionnye protsessy. Kinkladze GN, translator; Shiryaev AN, editor. Moscow: Nauka; 1986. 448 p.
  16. Vaskouski M, Zadorozhnyuk A. Resistance distances in Cayley graphs on symmetric groups. Discrete Applied Mathematics. 2017;227:121–135. DOI: 10.1016/j.dam.2017.04.044.
  17. Vaskouski MM. Random walks on Cayley graphs of complex reflection groups. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2021;3:51–56. Russian. DOI: 10.33581/2520-6508-2021-3-51-56.
  18. Zadorozhnyuk AO. Monotonicity of random walks’ states on finite grids. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2022;1:38–45. Russian. DOI: 10.33581/2520-6508-2022-1-38-45.
Опубликован
2022-07-20
Ключевые слова: грубые траектории, производная Губинелли, разложение Дуба – Мейера, дробное броуновское движение
Как цитировать
Васьковский, М. М. (2022). Единственность производных Губинелли высших порядков и аналог теоремы Дуба – Мейера для грубых траекторий с произвольным положительным показателем Гёльдера. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 2, 6-14. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2022-2-6-14
Раздел
Вещественный, комплексный и функциональный анализ