О мероморфных решениях уравнений, связанных с первым уравнением Пенлеве

  • Елена Валерьевна Громак Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь https://orcid.org/0000-0003-3646-6227
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2022-2-15-22

Аннотация

Рассмотрена обобщенная иерархия первого уравнения Пенлеве, которая представляет собой последовательность полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений четного порядка, имеющих единую дифференциально-алгебраическую структуру, определяемую оператором L~n. Первый член этой иерархии при n = 2 есть первое уравнение Пенлеве, а последующие уравнения порядка 2n – 2 содержат произвольные параметры. Их называют высшими аналогами первого уравнения Пенлеве порядка 2n – 2. Исследованы аналитические свойства решений уравнений обобщенной иерархии первого уравнения Пенлеве и связанных с ними линейных уравнений. Установлено, что каждое уравнение иерархии имеет один доминирующий член, а произвольное мероморфное решение любого уравнения иерархии не может иметь конечное число полюсов. Определен характер подвижных полюсов мероморфных решений. С использованием метода Фробениуса получены достаточные условия мероморфности общего решения линейных уравнений второго порядка с линейным потенциалом, определяемым мероморфными решениями первых трех уравнений иерархии.

Биография автора

Елена Валерьевна Громак, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

кандидат физико-математических наук; доцент кафедры теории функций механико-математического факультета

Литература

  1. Gromak VI. [Analytic properties of solutions to the equations in the generalised hierarchy of the second Painlevé equation]. Differentsial’nye uravneniya. 2020;56(8):1017–1033. Russian.
  2. Kudryashov NA. Analiticheskaya teoriya nelineinykh differentsial’nykh uravnenii [Analytic theory of non-linear differential equations]. 2nd edition. Moscow: Institute of Computer Science; 2004. 359 p. Russian.
  3. Sakka AH. Linear problems and hierarchies of Painlevé equations. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009;42(2):025210. DOI: 10.1088/1751-8113/42/2/025210.
  4. Ince EL. Ordinary differential equations. New York: Dover Publications; 1956. VIII, 558 p. Russian edition: Ince EL. Obyknovennye differentsial’nye uravneniya. Efros AM, editor. Kharkiv: Nauchno-tekhnicheskoe izdatel’stvo Ukrainy; 1939. 719 p.
  5. Gromak VI, Laine I, Shimomura S. Painlevé differential equations in the complex plane. Berlin: Walter de Gruyter & Co.; 2002. VIII, 303 p. (de Gruyter studies in mathematics; volume 28). DOI: 10.1515/9783110198096.
  6. Gromak VI. The Bäcklund transformations of the higher order Painlevé equations. In: Coley A, Levi D, Milson R, Rogers C, Winternitz P, editors. Bäcklund and Darboux transformations. The geometry of solitons. AARMS – CRM workshop; 1999 June 4–9; Halifax, Canada. Providence: American Mathematical Society; 2001. p. 3–28 (CRM proceedings and lecture notes; volume 29).
  7. Gritsuk EV. [On local properties of solutions to the equations 2n P1]. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika. 2011;2:113–118. Russian.
  8. Wittich H. Neuere Untersuchungen über eindeutige analytische Funktionen. Berlin: Springer-Verlag; 1955. IV, 163 S. (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, neue Folge; Heft 8). Russian edition: Wittich HV. Noveishie issledovaniya po odnoznachnym analiticheskim funktsiyam. Gol’dberg AA, translator; Volkovyskii LI, editor. Moscow: Fizmatgiz; 1960. 319 p.
  9. Erugin NP. Problema Rimana [The Riemann problem]. Minsk: Nauka i tekhnika; 1982. 336 p. Russian.
  10. Goursat E. Cours d’analyse mathématique. Tome 3. Intégrales infiniment voisines. Équations aux dérivées partielles du second ordre. Équations intégrales. Calcul des variations. 5me édition. Paris: Gauthier-Villars; 1927. 712 p. Russian edition: Goursat E. Kurs matematicheskogo analiza. Tom 3. Chast’ 2. Integral’nye uravneniya. Variatsionnoe ischislenie. Shestopal MG, translator; Stepanov VV, editor. Moscow: Gosudarstvennoe tekhniko-teoreticheskoe izdatel’stvo; 1934. 320 p.
  11. Chazy J. Sur les équations différentielles du troisième ordre et d’ordre supérieur dont l’intégrale générale a ses points critiques fixes. Acta Mathematica. 1911;34:317–385. DOI: 10.1007/BF02393131.
  12. Atrokhau KG, Gromak EV. On solutions of the Chazy equation. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2021;2:51–59. DOI: 10.33581/2520-6508-2021-2-51-59.
  13. Gromak EV. [On meromorphic solutions of linear equations with a special invariant]. In: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus. Analytical methods of analysis and differential equations. Materials of the 10th International workshop; 2021 September 13–17; Minsk, Belarus. Minsk: Information and Computing Center of the Ministry of Finance of the Republic of Belarus; 2021. p. 30. Russian.
Опубликован
2022-07-27
Ключевые слова: первое уравнение Пенлеве, иерархии уравнений Пенлеве, мероморфные решения
Как цитировать
Громак, Е. В. (2022). О мероморфных решениях уравнений, связанных с первым уравнением Пенлеве. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 2, 15-22. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2022-2-15-22
Выпуск
№ 2 (2022): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Дифференциальные уравнения и оптимальное управление

Copyright (c) 2022 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).