Исследование в целом поведения траекторий системы хищник – жертва

  • Адам Дамирович Ушхо Адыгейский государственный университет, ул. Первомайская, 208, 385000, г. Майкоп, Россия
  • Дамир Салихович Ушхо Адыгейский государственный университет, ул. Первомайская, 208, 385000, г. Майкоп, Россия
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2023-1-20-30

Аннотация

Методами классической качественной теории динамических систем на плоскости решена в целом задача построения фазового портрета системы хищник – жертва Колмогорова. Рассмотрены возможные топологические структуры данной модели для шести случаев коэффициентных условий при положительных значениях трех параметров. За счет разбиения множества значений одного из параметров на промежутки построены фазовые портреты в круге Пуанкаре. Найдены значения этого параметра, при которых в системе возможен режим автоколебаний. Показано, что негрубый однократный сложный фокус не окружают замкнутые траектории. На основе анализа расположения главных изоклин системы на всей фазовой плоскости исключительно геометрически установлена топологическая структура сложного состояния равновесия на бесконечности без опоры на известные аналитические (более трудоемкие) методы.

Биографии авторов

Адам Дамирович Ушхо, Адыгейский государственный университет, ул. Первомайская, 208, 385000, г. Майкоп, Россия

кандидат физико-математических наук, доцент; заведующий кафедрой теоретической физики инженерно-физического факультета

Дамир Салихович Ушхо, Адыгейский государственный университет, ул. Первомайская, 208, 385000, г. Майкоп, Россия

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук

Литература

  1. Diz-Pita É, Llibre J, Otero-Espinar MV. Global phase portraits of a predator – prey system. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. 2022;16:1–13. DOI: 10.14232/ejqtde.2022.1.16.
  2. Bautin NN, Leontovich EA. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskikh sistem na ploskosti [Methods and techniques of the qualitative study of dynamical systems on the plane]. Moscow: Nauka; 1976. 496 p. (Spravochnaya matematicheskaya biblioteka). Russian.
  3. Otrokov NF. Analiticheskie integraly i predel’nye tsikly [Analytical integrals and limit cycles]. Gorky: Volgo-Vyatskoe knizhnoe izdatel’stvo; 1972. 216 p. Russian.
  4. Andronov AA, Leontovich EA, Gordon II, Mayer AG. Kachestvennaya teoriya dinamicheskikh sistem vtorogo poryadka [Qualitative theory of dynamical systems of the second order]. Moscow: Nauka; 1966. 568 p. Russian.
  5. Andronov AA, Leontovich EA, Gordon II, Mayer AG. Teoriya bifurkatsii dinamicheskikh sistem na ploskosti [Theory of bifurcations of dynamical systems on a plane]. Moscow: Nauka; 1967. 488 p. Russian.
  6. Poincare A. O krivykh, opredelyaemykh differentsial’nymi uravneniyami [On curves defined by differential equations]. Leontovich E, Mayer A, translators; Andronov AA, editor. Moscow: OGIZ; 1947. 392 p. Co-published by the Gosudarstvennoe izdatel’stvo tekhniko-teoreticheskoi literatury (Klassiki estestvoznaniya. Matematika. Mekhanika. Fizika. Astronomiya). Russian.
  7. Frommer M. [Integral curves of an ordinary differential equation of the first order in the vicinity of a singular point having a rational character]. Uspekhi matematicheskikh nauk. 1941;9:212–253. Russian.
  8. Liou Lii-Perng, Cheng Kuo-Shung. On the uniqueness of a limit cycle for a predator – prey system. SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1988;19(4):867–878. DOI: 10.1137/0519060.
  9. Sadovskii AP, Shcheglova TV. [Centers of a cubic system with eleven parameters]. Vestnik BGU. Seriya 1, Fizika. Matematika. Informatika. 2011;1:71–75. Russian.
  10. Sidorenko IN. [Limit cycles of normal size of some classes of quadratic systems on the plane]. Vestnik BGU. Seriya 1, Fizika. Matematika. Informatika. 2008;3:63–68. Russian.
Опубликован
2023-03-23
Ключевые слова: А. Н. Колмогоров, система хищник – жертва, глобальный фазовый портрет, круг Пуанкаре, состояния равновесия, предельный цикл
Поддерживающие организации Авторы выражают благодарность профессору В. Б. Тлячеву за полезные замечания, а также Физическому обществу Республики Адыгея за частичную финансовую поддержку (грант № 2022/01).
Как цитировать
Ушхо, А. Д., & Ушхо, Д. С. (2023). Исследование в целом поведения траекторий системы хищник – жертва. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 1, 20-30. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2023-1-20-30
Выпуск
№ 1 (2023): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Дифференциальные уравнения и оптимальное управление

Copyright (c) 2023 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).