Итерационная реализация спектрального метода Чебышева для двумерных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами

  • Василий Михайлович Волков Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь
  • Екатерина Ивановна Качаловская Брестский государственный университет им. А. С. Пушкина, бул. Космонавтов, 21, 224016, г. Брест, Беларусь

Аннотация

Построены и исследованы два варианта итерационных алгоритмов реализации спектрального метода Чебышева для двумерных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами. Рассмотренные алгоритмы основаны на использовании стабилизированной версии итерационного метода бисопряженных градиентов с комбинированным переобусловливателем в виде диагональной матрицы коэффициентов уравнения и дискретного аналога оператора Лапласа, представленного конечно-разностной или спектральной аппроксимацией. Для обработки дискретного аналога оператора Лапласа в первом случае реализован итерационный метод переменных направлений с оптимальным набором итерационных параметров, а во втором случае – алгоритм Бартельса – Стюарта. На основе численных экспериментов показана высокая эффективность предлагаемых алгоритмов. В обоих случаях количество итераций практически не зависит от размерности сетки и умеренно возрастает при увеличении степени неоднородности коэффициентов задачи. Вычислительная сложность алгоритмов характеризуется величиной O(NN1/2), где N – количество узлов сетки. Несмотря на существенную субоптимальность вычислительной сложности, при размерности сетки N = n × n, n ≤ 300, временные затраты на реализацию алгоритмов демонстрируют значения не хуже, чем у алгоритмов оптимальной вычислительной сложности O(N).

Биографии авторов

Василий Михайлович Волков, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

доктор физико-математических наук, доцент; профессор кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования механико-математического факультета

 

Екатерина Ивановна Качаловская, Брестский государственный университет им. А. С. Пушкина, бул. Космонавтов, 21, 224016, г. Брест, Беларусь

старший преподаватель кафедры прикладной математики и информатики физико-математического факультета

 

Литература

  1. Boyd JP. Chebyshev and Fourier spectral methods. 2nd edition. New York: Dover Publications; 2000. XVI, 594 p.
  2. Trefethen LN. Spectral methods in MATLAB. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics; 2000. XVII, 165 p. (Dongarra JJ, Demmel JW, Gannon D, Grosse E, Moré JJ, editors. Software, environments, and tools).
  3. Orszag SA. Spectral methods for problems in complex geometrics. In: Parter SV, editor. Numerical methods for partial differential equations. Proceedings of an advanced seminar; 1978 October 23–25; Madison, USA. New York: Academic Press; 1979. p. 273–305 (Publication of the Mathematics Research Center, the University of Wisconsin – Madison; No. 42). DOI: 10.1016/B978-0-12-546050-7.50014-9.
  4. D’yakonov EG. Optimization in solving elliptic problems. McCormick S, editor. Boca Raton: CRC Press; 2018. XXVIII, 561 p. (CRC revivals).
  5. Fortunato D, Townsend A. Fast Poisson solvers for spectral methods. IMA Journal of Numerical Analysis. 2020;40(3):1994–2018. DOI: 10.1093/imanum/drz034.
  6. Jbilou K. ADI preconditioned Krylov methods for large Lyapunov matrix equations. Linear Algebra and its Applications. 2010; 432(10):2473–2485. DOI: 10.1016/j.laa.2009.12.025.
  7. van der Vorst HA. Bi-CGSTAB: a fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution of nonsymmetric linear systems. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing. 1992;13(2):631–644. DOI: 10.1137/0913035.
  8. Samarskii AA, Nikolaev ES. Metody resheniya setochnykh uravnenii [Methods for solving grid equations]. Moscow: Nauka; 1978. 592 p. Russian.
  9. Bartels RH, Stewart GW. Algorithm 432 [C2]: solution of the matrix equation AX + XB = C [F4]. Communications of the ACM. 1972;15(9):820–826. DOI: 10.1145/361573.361582.
  10. Damm T. Direct methods and ADI‐preconditioned Krylov subspace methods for generalized Lyapunov equations. Numerical Linear Algebra with Applications. 2008;15(9):853–871. DOI: 10.1002/nla.603.
  11. Volkov VM, Prakonina AU. Iterative realization of finite difference schemes in the fictitious domain method for elliptic problems with mixed derivatives. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2019;1:69–76. Russian. DOI: 10.33581/2520-6508-2019-1-69-76.
Опубликован
2023-12-13
Ключевые слова: спектральные методы Чебышева, метод бисопряженных градиентов, метод переменных направления, алгоритм Бартельса – Стюарта, эллиптические уравнения
Как цитировать
Волков, В. М., & Качаловская, Е. И. (2023). Итерационная реализация спектрального метода Чебышева для двумерных эллиптических уравнений с переменными коэффициентами. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 3, 53-62. Доступно по https://journals.bsu.by/index.php/mathematics/article/view/5668
Выпуск
№ 3 (2023): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Вычислительная математика

Copyright (c) 2023 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).