Rational approximations of power series, trigonometric series and series of Chebyshev polynomials

Authors

  • Alexander P. Starovoitov Francisk Skorina Gomel State University, 104 Savieckaja Street, Gomiel 246028, Belarus
  • Igor V. Kruglikov Francisk Skorina Gomel State University, 104 Savieckaja Street, Gomiel 246028, Belarus
  • Tatyana M. Osnach Francisk Skorina Gomel State University, 104 Savieckaja Street, Gomiel 246028, Belarus

Keywords:

Hermite – Pade approximations, Pade – Chebyshev approximations, trigonometric series, series of Chebyshev polynomials
Supporting Agencies
This work was supported by the state programme of scientific research «Convergence-2025».

Abstract

In this paper, we defined trigonometric Hermite – Pade and Hermite – Jacobi approximations as well as linear and nonlinear Hermite – Chebyshev approximations for trigonometric and Chebyshev series. We established the criterion of the existence and uniqueness of trigonometric Hermite – Pade polynomials, associated with an arbitrary set of k trigonometric series, and we found the explicit form of these polynomials. Similar results were obtained for linear Hermite – Chebyshev approximations. We made examples of systems of functions for which trigonometrical Hermite – Jacobi approximations existed which were not the same as trigonometric Hermite – Pade approximations. Similar examples were represented for linear and nonlinear Hermite – Chebyshev approximations.

Author Biographies

  • Alexander P. Starovoitov, Francisk Skorina Gomel State University, 104 Savieckaja Street, Gomiel 246028, Belarus

    doctor of science (physics and mathematics), full professor; professor at the department of mathematical analysis and differential equations, faculty of mathematics and technologies of programming

  • Igor V. Kruglikov, Francisk Skorina Gomel State University, 104 Savieckaja Street, Gomiel 246028, Belarus

    student at the faculty of mathematics and technologies of programming

  • Tatyana M. Osnach, Francisk Skorina Gomel State University, 104 Savieckaja Street, Gomiel 246028, Belarus

    postgraduate student at the department of mathematical analysis and differential equations, faculty of mathematics and technologies of programming

References

  1. Andrianov IV, Awrejcewicz J. New trends in asymptotic approaches: summation and interpolation methods. Applied Mechanics Reviews. 2001;54(1):69–92. DOI: 10.1115/1.3097289.
  2. Книжнерман ЛА. Выделение полюсов потенциальных полей с помощью разложения в ряды Фурье – Чебышева. Известия АН СССР. Физика Земли. 1984;11:119–123.
  3. Tee TW, Trefethen LN. A rational spectral collocation method with adaptively transformed Chebyshev grid points. SIAM Journal on Scientific Computing. 2006;28(5):1798–1811. DOI: 10.1137/050641296.
  4. Druskin V, Knizhnerman L. Gaussian spectral rules for the three-point second differences. I. A two-point positive definite problem in a semi-infinite domain. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1999;37(2):403–422. DOI: 10.1137/S0036142997330792.
  5. Ермохин КМ. Продолжение геофизических полей в область источников аномалий методом аппроксимации цепными дробями. Геофизика. 2007;1:51–55.
  6. Гончар АА, Рахманов ЕА, Суетин СП. Аппроксимации Паде – Чебышева для многозначных аналитических функций, вариация равновесной энергии и S-свойство стационарных компактов. Успехи математических наук. 2011;66(6):3–36. DOI: 10.4213/rm9452.
  7. Суетин СП. О существовании нелинейных аппроксимаций Паде – Чебышева для аналитических функций. Математические заметки. 2009;86(2):290–303. DOI: 10.4213/mzm5262.
  8. Прохоров ГВ, Колбеев ВВ, Желнов КИ, Леденев МА. Математический пакет Maple V Release 4: руководство пользователя. Калуга: Облиздат; 1998. 199 с.
  9. Frobenious G. Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1881;90:1–17.
  10. Jacobi CGJ. Über die Darslellung einer Reihe gegebner Werthe durch eine gebrochne rationale Function. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1845;30:127–156.
  11. Бейкер Дж, Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. Рахманов ЕА, Суетин СП, переводчики. Москва: Мир; 1986. 502 с.
  12. Суетин СП. О теореме Монтессу де Болора для нелинейных аппроксимаций Паде ортогональных разложений и рядов Фабера. Доклады АН СССР. 1980;253(6):1322–1325.
  13. Hermite C. Sur la fonction exponentielle. Comptes rendus de l’Académie des Sciences. 1873;77:18–293.
  14. Mahler K. Perfect systems. Compositio mathematica. 1968;19(2):95–166.
  15. Никишин ЕМ, Сорокин ВН. Рациональные аппроксимации и ортогональность. Москва: Наука; 1988. 256 с.
  16. Beckermann В, Kalyagin V, Matos Ana C, Wielonsky F. How well does the Hermite – Pade approximation smooth the Gibbs phenomenon? Mathematics of Computation. 2011;80(274):931–958. DOI: 10.1090/S0025-5718-2010-02411-1.
  17. Сорокин ВН. Циклические графы и теорема Апери. Успехи математических наук. 2002;57(3):99–134. DOI: 10.4213/rm512.
  18. Суетин СП. Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда. Успехи математических наук. 2002;57(1):45–142. DOI: 10.4213/rm475.
  19. Суетин СП. Распределение нулей полиномов Паде и аналитическое продолжение. Успехи математических наук. 2015;70(5):121–174. DOI: 10.4213/rm9675.
  20. Bleher PM, Kuijlaars ABJ. Random matrices with external source and multiple orthogonal polynomials. International Mathematics Research Notices. 2004;3:109–129. DOI: 10.1155/S1073792804132194.
  21. Aptekarev AI, Bleher PM, Kuijlaars ABJ. Large n limit of Gaussian random matrices with external source. Part 2. Communications in Mathematical Physics. 2005;259:367–389. DOI: 10.1007/s00220-005-1367-9.
  22. Аптекарев АИ, Лысов ВГ, Туляков ДН. Случайные матрицы с внешним источником и асимптотика совместно ортогональных многочленов. Математический сборник. 2011;202(2):3–56. DOI: 10.4213/sm7702.
  23. Калягин ВА. Аппроксимации Эрмита – Паде и спектральный анализ несимметричных операторов. Математический сборник. 1994;185(6):79–100.
  24. Aptekarev AI, Kalyagin VA, Saff EB. Higher-order three-term recurrences and asymptotics of multiple orthogonal polynomials. Constructive Approximation. 2009;30:175–223. DOI: 10.1007/s00365-008-9032-0.
  25. Chudnovsky GV. Hermite – Padé approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of π. In: Chudnovsky DV, Chudnovsky GV, editors. The riemann problem, complete integrability and arithmetic applications. New York: Springer-Verlag; 1982. p. 299–322 (Lecture notes in mathematics; volume 925). DOI: 10.1007/BFb0093516.
  26. van Assche W. Multiple orthogonal polynomials, irrationality and transcedence. In: Berndt BC, Gesztesy F, editors. Continued fractions: from analytic number theory to constructive approximation: a volume in honor of L. J. Lange. Providence: American Mathematical Society; 1999. p. 325–342 (Contemporary mathematics; volume 236). DOI: 10.1090/conm/236/03504.
  27. Geddes KО. Block structure in the Chebyshev – Padé table. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1981;18(5):844–861. DOI: 10.1137/0718058.
  28. Litvinov GL. Error autocorreclion in rational approximation and interval estimates. [A survey of results]. Central European Journal of Mathematics. 2003;1(1):36–60. DOI: 10.2478/BF02475663.
  29. Адуков ВМ, Ибряева ОЛ. Асимптотическое поведение знаменателей аппроксимаций Паде – Чебышева для последней промежуточной строки. Рациональный случай. Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика, физика, химия. 2005;6(6):11–18.
  30. Padé H. Sur la représentation approchée d’une fonction par des fractions rationnelles. Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure. Serie 3. 1892;9:3–93.
  31. Старовойтов АП, Рябченко НВ, Волков ВА. О существовании и единственности многочленов Эрмита – Паде второго рода. Проблемы физики, математики и техники. 2019;2(39):92–96.
  32. Старовойтов АП, Рябченко НВ. О детерминантных представлениях многочленов Эрмита – Паде. Труды Московского математического общества. 2022;83(1):17–35.
  33. Оснач ТМ, Рябченко НВ, Старовойтов АП. Аналог теоремы Якоби для одновременной эрмитовской интерполяции нескольких функций. Проблемы физики, математики и техники. Серия: Математика. 2023;1(54):89–92. DOI: 10.54341/20778708_2023_1_54_89.
  34. Аптекарев АИ. Об аппроксимациях Паде к набору {1F1(1, c; λiz)}ki = 1. Вестник Московского университета. Серия 1, Математика. Механика. 1981;2:58–62.
  35. Mittag-Leffler MG. Sur la nouvelle fonction Ea(x). Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Paris. 1903;137:554–558.
  36. de Bruin MG. Convergence of the Padé table for 1F1(1; c; x). Indagationes Mathematicae (Proceedings). 1976;79(5):408–418. DOI: 10.1016/S1385-7258(76)80004-2.
  37. Старовойтов АП. Аппроксимации Эрмита – Паде функций Миттаг-Леффлера. Труды Математического института имени В. А. Стеклова. 2018;301(1):241–258. DOI: 10.1134/S0371968518020188.
  38. Лабыч ЮА, Старовойтов АП. Тригонометрические аппроксимации Паде функций с регулярно убывающими коэффициентами Фурье. Математический сборник. 2009;200(7):107–130. DOI: 10.4213/sm4523.
  39. Nemeth G, Pàris G. The Gibbs phenomenon in generalized Padé approximation. Journal of Mathematical Physics. 1985;26(6):1175–1178. DOI: 10.1063/1.526521.
  40. Суетин СП. Вопросы сходимости аппроксимаций Паде – Фабера [диссертация]. Москва: МГУ имени М. В. Ломоносова; 1981. 78 с.
  41. Старовойтов АП, Кечко ЕП, Оснач ТМ. О существовании тригонометрических аппроксимаций Эрмита – Якоби и нелинейных аппроксимаций Эрмита – Чебышева. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2023;2:6–17. DOI: 10.33581/2520-6508-2023-2-6-17. EDN: XJRLWT.

Downloads

Published

2024-12-17

Issue

No. 3 (2024): Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics

Section

Real, Complex and Functional Analysis

License

The authors who are published in this journal agree to the following:

  1. The authors retain copyright on the work and provide the journal with the right of first publication of the work on condition of license Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. The authors retain the right to enter into certain contractual agreements relating to the non-exclusive distribution of the published version of the work (e.g. post it on the institutional repository, publication in the book), with the reference to its original publication in this journal.
  3. The authors have the right to post their work on the Internet (e.g. on the institutional store or personal website) prior to and during the review process, conducted by the journal, as this may lead to a productive discussion and a large number of references to this work. (See The Effect of Open Access.)

How to Cite

[1]
Starovoitov, A.P. et al. 2024. Rational approximations of power series, trigonometric series and series of Chebyshev polynomials. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 3 (Dec. 2024), 6–21.