О множестве разрушения решений начально-краевой задачи для системы параболических уравнений с нелокальными граничными условиями

Аннотация

Рассматривается система полулинейных параболических уравнений u_t = Δг + с₁(x,t)v_p, v_t = Δv + c₂(x,t)u^q, (x,t) ∈ Ω × (0,+∞), с нелинейными нелокальными граничными условиями ∂u/∂η = ∫k₁(x,y,t)u^m(y,t)dy, ∂v/∂η = ∫_Ωk₂(x,y,t)v_n(y,t)dy, (x,t) ∈ ∂Ω × (0,+∞), и начальными данными u(x,0) = u₀(x), v(x,0) = v₀(x), x ∈ Ω, где p, q, m, n - положительные постоянные, Ω - ограниченная область в пространстве R^N(N ≥ 1) с гладкой границей ∂Ω, η - единичная внешняя нормаль к ∂Ω. Неотрицательные функции c_i(x,t),i = 1,2,определены при x ∈ Ω, t ≥ 0, и локально непрерывны по Гёльдеру; неотрицательные непрерывные функции k_i(x,y,t),i = 1,2, определены при x ∈ ∂Ω, y ∈ Ω, t ≥ 0; неотрицательные непрерывные функции u₀(x),v₀(x) определены при x ∈ Ω и удовлетворяют условиям ∂u₀(x)/∂η = ∫k₁(x,y,0)u^m₀(y)dy, ∂v₀(x)/∂η = ∫_Ωk₂(x,y,0)vⁿ₀(y)dy при x ∈ ∂Ω. В работе исследуется множество разрушения классических решений. Для max(p,q) ≤ 1, max(m,n)> 1 и при выполнении определенных условий для коэффициентов k_i(x,y,t),i = 1,2 установлено, что решение задачи может разрушаться только на границе ∂Ω.