Об устойчивости дифференциальных уравнений третьего порядка

  • Борис Сергеевич Калитин Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Аннотация

Исследуется задача устойчивости равновесия нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений методом знакопостоянных функций Ляпунова. Выделены типы нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида, для которых выбор знакопостоянной функции не представляет сложностей. Для таких уравнений получены достаточные условия свойств устойчивости и асимптотической устойчивости (локальной и глобальной). Результаты об асимптотической устойчивости равновесия совпадают с необходимыми и достаточными условиями в соответствующем линейном случае. Следовательно, они отвечают общепринятым требованиям. Проведенные исследования показывают, что использование знакоположительных функций может дать преимущества по сравнению с классическим методом применения определенно-положительных функций Ляпунова.

Биография автора

Борис Сергеевич Калитин, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

кандидат физико-математических наук; профессор кафедры аналитической экономики и эконометрики экономического факультета

Литература

  1. Barbashin EA. On the stability of the solution of a third-order equation. Prikladnaya matematika i mekhanika. 1952;16(3): 629 – 632. Russian.
  2. Shimanov SN. On the stability of the solution of a non-linear system of equations. Uspekhi matematicheskikh nauk. 1953;8(6): 155–157. Russian.
  3. Pliss VA. Investigation of a third-order non-linear differential equation. Doklady AN SSSR. 1956;111(6):1078 –1180. Russian.
  4. Zheleznov EI. On the stability in the large of a non-linear system of three equations. Trudy Ural’skogo polytechnical institute. 1958;74:41– 45. Russian.
  5. Ogurtsov AI. On the stability in general of solutions of third-order and fourth-order non-linear differential equations. Izvestiya vuzov. Mathematika. 1958;1(2):124 –129. Russian.
  6. Ogurtsov AI. On the stability of solutions of two non-linear differential equations of the third and fourth orders. Applied Mathematics and Mechanics. 1959;23(1):179 –181. Russian.
  7. Ogurtsov AI. On the stability of solutions of certain third-order and fourth-order non-linear differential equations. Izvestiya vuzov. Mathematika. 1959;3:200 –209. Russian.
  8. Ezeilo JOC. On the stability of the solutions of a certain differential equations of the third order. The Quarterly Journal of Mathe matics. 1960:11(1):64 – 69. DOI: 10.1093/qmath/11.1.64.
  9. Barbashin EA. Funktsii Lyapunova [Lyapunov functions]. Moscow: Nauka; 1970. Russian.
  10. Lyapunov AM. Obshchaya zadacha ob ustoichivosti dvizheniya [The general problem of the stability of motion]. Moscow, Leningrad: Gostekhizdat; 1950. Russian.
  11. Bulgakov NG, Kalitin BS. Generalization of the theorems of the second Lyapunov method. 1. Theory. Izvestiya Academii nauk BSSR. Seriya fiziko-matematicheskikh nauk. 1978;3(3):32–36. Russian.
  12. Bulgakov NG, Kalitin BS. Generalization of the theorems of the second Lyapunov method. 2. Examples. Izvestiya Academii nauk BSSR. Seriya fiziko-matematicheskikh nauk. 1979;1(1):70 –74. Russian.
  13. Kalitine B. Sur la stabilité des ensembles compacts positivement invariants des systèmes dynamiques. RAIRO Automatique / Systems Analysis and Control. 1982;16(3):275–286.
  14. Kalitine BS. On the stability of compact sets. Vestnik BGU. Seriya 1, Fizika. Matematika. Mekhanika. 1984;3:61–62. Russian.
  15. Kalitine BS. B-stability and the Florio – Seibert problem. Differential Equations. 1999;35(4):453– 463. Russian.
  16. Kalitine B. On the theorem for nonasymptotic stability in the direct Lyapunovʼs method. Comptes Rendus Mathematique. 2004;338(2):163–166. DOI: 10.1016/j.crma.2003.11.026.
  17. Andreev AS. Ustoichivost’ neavtonomnykh funktsional’no-differentsial’nykh uravnenii [Stability of non-autonomous functional-differential equations]. Ulyanovsk: Izdatel’stvo UlGU; 2005. Russian.
  18. Pavlikov SV. Metod funktsionalov Lyapunova v zadachakh ustoichivosti i stabilizatsii [Method of Lyapunov functionals in problems of stability and stabilization]. Naberezhnye Chelny: Izdatel’stvo Instituta upravleniya; 2010. Russian.
  19. Kalitine BS. Ustoichivostʼ differentsialʼnykh uravnenii (Metod znakopostoyannykh funktsii Lyapunova) [Stability of differential equations (Lyapunov’s method of constant-valued functions)]. Saarbrücken: LAP; 2012. Russian.
  20. Kalitine BS. Ustoichivost’ neavtonomnykh differentsial’nykh uravnenii [Stability of non-autonomous differential equations]. Minsk: Belarusian State University; 2013. Russian.
  21. Kalitine BS. O problemakh ustoichivosti neavtonomnykh differentsialʼnykh uravnenii (Metod znakopostoyannykh funk tsii Lyapunova) [On stability problems of non-autonomous differential equations (Lyapunov’s method of constant-valued functions)]. Saarbrücken: LAP; 2015. Russian.
  22. Kalitine BS. On the solution of stability problems by the direct Lyapunov method. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika. 2017;6:33 –43. Russian.
  23. Kalitine BS. K pryamomu metodu Lyapunova dlya poludinamicheskikh sistem [To the direct Lyapunov method for semi-dynamical systems]. Matematicheskie zametki. 2016;100(4):531–543. Russian. DOI: 10.4213/mzm11007.
  24. Kalitine BS. O reshenii zadach ustoichivosti pryamym metodom Lyapunova [On the solution of stability problems by the direct Lyapunov method]. Izvestiya vuzov. Mathematika. 2017;6:33– 43. Russian.
  25. Sedova NO. The Global asymptotic stability and stabilization in nonlinear cascade system with delay. Izvestiya vuzov. Mathematika. 2008;11:68–79. Russian.
  26. Rouche N, Habets P, Laloy M [Stability Theory Liapunov’s Direct Method]. New York: Springer; 1977. DOI: 10.1007/978-14684-9362-1. (Applied Mathematical Sciences; volume 22).
  27. Amerio L. Studio asintotico del moto di un punto su una linea chinsa per azione di forze indipendenti dal tempo. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3e serie. 1950;3(3):19 –57. Italian.
  28. Bhatia NP, Szegö G. Stability theory of Dynamical systems. Berlin, Heidelberg: Springer; 1970.
Опубликован
2019-01-19
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, равновесие, устойчивость, знакопостоянная функция Ляпунова
Как цитировать
Калитин, Б. С. (2019). Об устойчивости дифференциальных уравнений третьего порядка. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 2, 25-33. Доступно по https://journals.bsu.by/index.php/mathematics/article/view/781
Выпуск
№ 2 (2018): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Дифференциальные уравнения и оптимальное управление

Copyright (c) 2018 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).