Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для нелинейного параболического уравнения с памятью - Гладков, Александр Львович (Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 2023)
Рассмотрено нелинейное параболическое уравнение с памятью u_t=Δ u+au^p_0^t u^q(x,τ)dτ-bu^m для (x,t)Ω× (0,+∞) с нелинейным нелокальным граничным условием .u(x,t)v|_Ω× (0,+∞)= _Ω k(x,y,t)u^l(y,t)dy и начальными данными u(x,0)=u_0(x), xΩ, где a,b,q,m,l - положительные постоянные; p≥ 0; Ω - ограниченная область в пространстве R^n с гладкой границей Ω; v - единичная внешняя нормаль к Ω. Неотрицательная непрерывная функция k(x,y,t) определена при xΩ, yΩ, t≥ 0, неотрицательная функция u_0(x)C^1(Ω), при этом она удовлетворяет условию u_0(x)v=_Ω k(x,y,0)u_0^l(y)d y при xΩ. Рассмотрены классические решения. Установлено существование локального максимального решения исходной задачи. Введены понятия верхнего и нижнего решений. Показано, что при выполнении определенных условий верхнее решение не меньше нижнего решения. Найдены условия положительности решений. Как следствие положительности решений и принципа сравнения решений доказана теорема единственности решения.