Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для нелинейного параболического уравнения с памятью - Александр Львович Гладков (Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 2023)
Рассмотрено нелинейное параболическое уравнение с памятью $u_{t}=Δ u+au^{p}\int\limits_0^t u^{q}(x,τ)dτ-bu^{m}$ для $(x,t)\in Ω× (0,+∞)$ с нелинейным нелокальным граничным условием $\left.\frac{\partial u(x,t)}{\partial v}\right|_{\partialΩ× (0,+∞)}= \int\limits_Ω k(x,y,t)u^{l}(y,t)dy$ и начальными данными $u(x,0)=u_{0}(x), x\inΩ$, где $a,b,q,m,l$ - положительные постоянные; $p≥ 0$; $Ω$ - ограниченная область в пространстве $\mathbb{R}^{n}$ с гладкой границей $\partialΩ$; $v$ - единичная внешняя нормаль к $\partialΩ$. Неотрицательная непрерывная функция $k(x,y,t)$ определена при $x\in \partialΩ, y\in\bar{Ω}, t≥ 0$, неотрицательная функция $u_{0}(x)\in C^{1}(\barΩ)$, при этом она удовлетворяет условию $\frac{\partial u_{0}(x)}{\partial v}=\int\limits_Ω k(x,y,0)u_{0}^{l}(y)d y $ при $x\in\partialΩ$. Рассмотрены классические решения. Установлено существование локального максимального решения исходной задачи. Введены понятия верхнего и нижнего решений. Показано, что при выполнении определенных условий верхнее решение не меньше нижнего решения. Найдены условия положительности решений. Как следствие положительности решений и принципа сравнения решений доказана теорема единственности решения.