Invariant f-structures on the four-dimensional oscillator group

Authors

  • Vitaly V. Balashchenko Belarusian State University, 4 Niezaliezhnasci Avenue, Minsk 220030, Belarus
  • Victoria N. Kunitsa Belarusian State University, 4 Niezaliezhnasci Avenue, Minsk 220030, Belarus

Keywords:

oscillator group, solvable Lie group, solvable Lie algebra, left-invariant metric f-structure, nearly Kähler f-structure, Hermitian f-structure, generalised Hermitian geometry
Supporting Agencies
The work was carried out with the financial support by the Belarusian State University within the framework of the state programme of the scientific research of the Republic of Belarus for 2021–2025 «Convergence-2025» (subprogramme «Mathematical models and methods», research work «Structures on linear algebraic groups, generalized principal G-bundles, homogeneous manifolds and Lie groups», state registration No. 20211882).

Abstract

In this paper, we investigate the four-dimensional oscillator group from the point of view of the generalised Hermitian geometry. This solvable Lie group is a semi-direct product of the classical three-dimensional Heisenberg group by a real line. Using the corresponding Lie algebra, we construct and study six basic left-invariant metric f-structures of rank 2 on the oscillator group. As a result, it gives the opportunity to present new examples of left-invariant nearly Kähler, generalised nearly Kähler and Hermitian f-structures on solvable Lie groups.

Author Biographies

  • Vitaly V. Balashchenko, Belarusian State University, 4 Niezaliezhnasci Avenue, Minsk 220030, Belarus

    PhD (physics and mathematics), docent; associate professor at the department of geometry, topology and methods of teaching mathematics, faculty of mechanics and mathematics

  • Victoria N. Kunitsa, Belarusian State University, 4 Niezaliezhnasci Avenue, Minsk 220030, Belarus

    postgraduate student at the department of geometry, topology and methods of teaching mathematics, faculty of mechanics and mathematics

References

  1. Yano K. On a structure defined by a tensor field f of type ¬1,1 satisfying f f 3 ¬ 0. Tensor. 1963;14:99–109.
  2. Кириченко ВФ. Квазиоднородные многообразия и обобщенные почти эрмитовы структуры. Известия Академии наук СССР. Серия математическая. 1983;47(6):1208–1223.
  3. Кириченко ВФ. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории почти контактных многообразий. В: Михайлов АИ, Остиану НМ, редакторы. Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. Том 18. Москва: ВИНИТИ; 1986. с. 25–71.
  4. Кириченко ВФ. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Москва: Московский педагогический государственный университет; 2003. 495 с.
  5. Степанов НА. Основные факты теории ϕ-пространств. Известия высших учебных заведений. Математика. 1967;3:88–95.
  6. Wolf JA, Gray A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms. I. Journal of Differential Geometry. 1968;2(1):77–114. DOI: 10.4310/jdg/1214501139.
  7. Wolf JA, Gray A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms. II. Journal of Differential Geometry. 1968;2(2):115–159. DOI: 10.4310/jdg/1214428252.
  8. Феденко АС. Пространства с симметриями. Минск: Издательство Белорусского государственного университета; 1977. 168 с.
  9. Ковальский О. Обобщенные симметрические пространства. Сабинин ЛВ, переводчик. Москва: Мир; 1984. 240 с.
  10. Степанов НА. Однородные 3-циклические пространства. Известия высших учебных заведений. Математика. 1967;12:65–74.
  11. Gray A. Riemannian manifolds with geodesic symmetries of order 3. Journal of Differential Geometry. 1972;7(3–4):343–369. DOI: 10.4310/jdg/1214431159.
  12. Балащенко ВВ, Степанов НА. Канонические аффинорные структуры классического типа на регулярных Φ-пространствах. Математический сборник. 1995;186(11):3–34. EDN: XNEJKX.
  13. Балащенко ВВ. Естественно-редуктивные киллинговы f-многообразия. Успехи математических наук. 1999;54(3):151–152. EDN: XNDZCP.
  14. Балащенко ВВ. Однородные эрмитовы f-многообразия. Успехи математических наук. 2001;56(3):159–160. EDN: XNDRJB.
  15. Балащенко ВВ. Однородные приближенно келеровы f-многообразия. Доклады Академии наук. 2001;376(4):439–441. EDN: CSLRXP.
  16. Balashchenko VV. Invariant nearly Kähler f-structures on homogeneous spaces. In: Fernández M, Wolf JA, editors. Global differential geometry: the mathematical legacy of Alfred Gray. International congress on differential geometry; 2000 September 18–23; Bilbao, Spain. Providence: American Mathematical Society; 2001. p. 263–267 (Contemporary mathematics; volume 288).
  17. Балащенко ВВ, Вылегжанин ДВ. Обобщенная эрмитова геометрия на однородных Φ-пространствах конечного порядка. Известия высших учебных заведений. Математика. 2004;10:33–44. EDN: HQUHGD.
  18. Балащенко ВВ, Самсонов АС. Приближенно келеровы и эрмитовы f-структуры на однородных k-симметрических пространствах. Доклады Академии наук. 2010;432(3):295–298. EDN: MSRBAL.
  19. Самсонов АС. Приближенно келеровы и эрмитовы f-структуры на однородных Φ-пространствах порядка k в случае специальных метрик. Сибирский математический журнал. 2011;52(6):1373–1388. EDN: OKFOYR.
  20. Biggs R, Remsing СС. Some remarks on the oscillator group. Differential Geometry and its Applications. 2014;35(supplement):199–209. DOI: 10.1016/j.difgeo.2014.03.003.
  21. Fischer M, Kath I. Spectra of compact quotients of the oscillator group. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications (SIGMA). 2021;17:051. DOI: 10.3842/sigma.2021.051.
  22. Biggs R, Nagy PT. On extensions of sub-Riemannian structures on Lie groups. Differential Geometry and its Applications. 2016;46:25–38. DOI: 10.1016/j.difgeo.2016.02.001.
  23. Stong RE. The rank of an f-structure. Kodai Mathematical Seminar Reports. 1977;29(1–2):207–209. DOI: 10.2996/kmj/1138833583.
  24. Яно К, Кон М. CR-подмногообразия в келеровом и сасакиевом многообразиях. Остиану НМ, переводчик. Москва: Наука; 1990. 189 с.
  25. Singh KD, Singh R. Some f 3, ¬ -structure manifolds. Demonstratio Mathematica. 1977;10(3–4):637–645. DOI: 10.1515/dema-1977-3-411.
  26. Грицанс АС. О геометрии киллинговых f-многообразий. Успехи математических наук. 1990;45(4):149–150.
  27. Грицанс АС. О строении киллинговых f-многообразий. Известия высших учебных заведений. Математика. 1992;6:49–57.
  28. Gray A, Hervella LM. The sixteen classes of almost Hermitian manifolds and their linear invariants. Annali di Matematica Pura ed Applicata. 1980;123:35–58. DOI: 10.1007/BF01796539.
  29. Кобаяси Ш, Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Том 2. Сабинин ЛВ, переводчик. Москва: Наука; 1981. 416 с.
  30. Балащенко ВВ. Инвариантные f-структуры на естественно-редуктивных однородных пространствах. Известия высших учебных заведений. Математика. 2008;4:3–15. EDN: JHIOHT.
  31. Balashchenko VV. Invariant structures on the 6-dimensional generalized Heisenberg group. Kragujevac Journal of Mathematics. 2011;35(2):209–222.
  32. Балащенко ВВ, Дубовик ПА. Левоинвариантные f-структуры на 5-мерной группе Гейзенберга H¬2,1 . Вестник БГУ. Серия 1, Физика. Математика. Информатика. 2013;3:112–117. EDN: TDNKBN.
  33. Дубовик ПА. Эрмитовы f-структуры на 6-мерных филиформных группах Ли. Известия высших учебных заведений. Математика. 2016;7:34–43. EDN: VTFUMH.

Downloads

Published

2025-06-03

Issue

No. 1 (2025): Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics

Section

Geometry and Topology

License

The authors who are published in this journal agree to the following:

  1. The authors retain copyright on the work and provide the journal with the right of first publication of the work on condition of license Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. The authors retain the right to enter into certain contractual agreements relating to the non-exclusive distribution of the published version of the work (e.g. post it on the institutional repository, publication in the book), with the reference to its original publication in this journal.
  3. The authors have the right to post their work on the Internet (e.g. on the institutional store or personal website) prior to and during the review process, conducted by the journal, as this may lead to a productive discussion and a large number of references to this work. (See The Effect of Open Access.)

How to Cite

[1]
Balashchenko, V.V. and Kunitsa, V.N. 2025. Invariant f-structures on the four-dimensional oscillator group. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 1 (Jun. 2025), 51–57.