О некоторых классах подрешеток решетки всех подгрупп

  • Александр Николаевич Скиба Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины, ул. Советская, 104, 246019, г. Гомель, Беларусь https://orcid.org/0000-0002-6521-2712
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-35-47

Аннотация

В настоящей статье G всегда обозначает группу. Если K и H – подгруппы группы G, где K – нормальная подгруппа группы H, то фактор-группа группы H по K называется секцией группы G. Такая секция является нормальной, если K и H – нормальные подгруппы группы G, и тривиальной, если K и H равны. Назовем произвольное множество S нормальных секций группы G расслоением группы G, если оно содержит каждую тривиальную нормальную секцию группы G, и будем говорить, что расслоение S группы G является G-замкнутым, если S содержит каждую такую нормальную секцию группы G, которая G-изоморфна некоторой нормальной секции группы G, принадлежащей множеству S. Пусть теперь S – произвольное G-замкнутое расслоение группы G и пусть L – множество всех таких подгрупп A группы G, что фактор-группа группы V по W, где V – нормальное замыкание A в G, а W – нормальное ядро A в G, принадлежит S. Опишем условия на S, при которых множество L является подрешеткой решетки всех подгрупп группы G, а также обсудим некоторые применения этой подрешетки в теории обобщенных конечных T-групп.

Биография автора

Александр Николаевич Скиба, Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины, ул. Советская, 104, 246019, г. Гомель, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; профессор кафедры алгебры и геометрии факультета математики и технологий программирования

Литература

  1. Wielandt H. Eine Verallgemenerung der invarianten Untergruppen. Mathematische Zeitschrift. 1939;45(1):209 –244. DOI: 10.1007/BF01580283.
  2. Kegel OH. Untergruppenverbände endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten. Archiv der Mathematik. 1978; 30(1):225–228. DOI: 10.1007/BF01226043.
  3. Ballester-Bolinches A, Ezquerro LM. Classes of Finite Groups. Dordrecht: Springer; 2006. 381 p. (Mathematics and its applications; volume 584). DOI: 10.1007/1-4020-4719-3.
  4. Ballester-Bolinches A, Doerk K, Pèrez-Ramos MD. On the lattice of F-subnormal subgroups. Journal of Algebra. 1992;148(1): 42–52. DOI: 10.1016/0021-8693(92)90235-E.
  5. Vasil’ev AF, Kamornikov SF, Semenchuk VN. [On lattices of subgroups of finite groups]. In: Beskonechnye gruppy i primykayushchie algebraicheskie struktury [Infinite groups and related algebraic structures]. Kiev: Institute of Mathematics of National Academy of Sciences of Ukraine; 1993. p. 27–54. Russian.
  6. Doerk K, Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin: Walter de Gruyter; 1992. 910 p. (de Gruyter expositions in mathematics; book 4).
  7. Shemetkov LA, Skiba AN. Formatsii algebraicheskikh sistem [Formations of algebraic systems]. Moscow: Nauka; 1989. 256 p. Russian.
  8. Hu B, Huang J, Skiba AN. Finite groups with only F-normal and F-abnormal subgroups. Journal of Group Theory. 2019;22: 915–926. DOI: 10.1515/jgth-2018-0199.
  9. Chi Z, Skiba AN. On two sublattices of the subgroup lattice of a finite group. Journal of Group Theory. 2019;22(6):1035–1047. DOI: 10.1515/jgth-2019-0039.
  10. Chi Z, Skiba AN. On a lattice characterization of finite soluble PST-groups. Bulletin of the Australian Mathematical Society. 2019;99(3):1– 8. DOI: 10.1017/S0004972719000741.
  11. Skiba AN. On s-subnormal and s-permutable subgroups of finite groups. Journal of Algebra. 2015;436:1–16. DOI: 10.1016/j. jalgebra.2015.04.010.
  12. Shemetkov LA. Formatsii konechnykh grupp [Formations of finite groups]. Moscow: Nauka; 1978. 272 p. Russian.
  13. Ballester-Bolinches A, Esteban-Romero R, Asaad M. Products of Finite Groups. Berlin: Walter de Gruyter; 2010. (de Gruyter expositions in mathematics; volume 53). DOI: 10.1515/9783110220612.
  14. Agrawal RK. Finite groups whose subnormal subgroups permute with all Sylow subgroups. Proceedings of the American Mathematical Society. 1975;47:77–83. DOI: 10.1090/S0002-9939-1975-0364444-4.
  15. Robinson DJS. The structure of finite groups in which permutability is a transitive relation. Journal of the Australian Mathematical Society. 2001;70(2):143–160. DOI: 10.1017/S1446788700002573.
  16. Brice RA, Cossey J. The Wielandt subgroup of a finite soluble groups. Journal of the London Mathematical Society. 1989; 40(2):244 –256. DOI: 10.1112/jlms/s2-40.2.244.
  17. Beidleman JC, Brewster B, Robinson DJS. Criteria for permutability to be transitive in finite groups. Journal of Algebra. 1999; 222(2):400 – 412. DOI: 10.1006/jabr.1998.7964.
  18. Ballester-Bolinches A, Esteban-Romero R. Sylow permutable subnormal subgroups of finite groups. Journal of Algebra. 2002; 251(2):727–738. DOI: 10.1006/jabr.2001.9138.
  19. Ballester-Bolinches A, Beidleman JC, Heineken H. Groups in which Sylow subgroups and subnormal subgroups permute. Illinois Journal of Mathematics. 2003;47(1–2):63– 69. DOI: 10.1215/ijm/1258488138.
  20. Ballester-Bolinches A, Beidleman JC, Heineken H. A local approach to certain classes of finite groups. Communications in Algebra. 2003;31(12):5931–5942. DOI: 10.1081/AGB-120024860.
  21. Asaad M. Finite groups in which normality or quasinormality is transitive. Archiv der Mathematik. 2004;83(4):289–296. DOI: 10.1007/s00013-004-1065-4.
  22. Ballester-Bolinches A, Cossey J. Totally permutable products of finite groups satisfying SC or PST. Monatshefte für Mathematik. 2005;145(2):89 – 94. DOI: 10.1007/s00605-004-0263-9.
  23. Al-Sharo KA, Beidleman JC, Heineken H, Ragland MF. Some characterizations of finite groups in which semipermutability is a transitive relation. Forum Mathematicum. 2010;22(5):855–862. DOI: 10.1515/forum.2010.045.
  24. Beidleman JC, Ragland MF. Subnormal, permutable, and embedded subgroups in finite groups. Central European Journal of Mathematics. 2011;9(4):915–921. DOI: 10.2478/s11533-011-0098-8.
  25. Yi X, Skiba AN. Some new characterizations of PST-groups. Journal of Algebra. 2014;399:39–54. DOI: 10.1016/j.jalgebra. 2013.10.001.
  26. Skiba AN. Some characterizations of finite s-soluble PsT-groups. Journal of Algebra. 2018;495:114 –129. DOI: 10.1016/j. jalgebra.2017.11.009.
  27. Fattahi A. Groups with only normal and abnormal subgroups. Journal of Algebra. 1974;28(1):15–19. DOI: 10.1016/00218693(74)90019-2.
  28. Ebert G, Bauman S. A note on subnormal and abnormal chains. Journal of Algebra. 1975;36(2):287–293. DOI: 10.1016/00218693(75)90103-9.
  29. Semenchuk VN, Skiba AN. On one generalization of finite U-critical groups. Journal of Algebra and its Applications. 2016; 15(4):1650063. DOI: 10.1142/S0219498816500638.
  30. Monakhov VS. [Finite groups with abnormal and U-subnormal subgroups]. Sibirskii matematicheskii zhurnal. 2016;57(2): 447– 462. Russian. DOI: 10.17377/smzh.2016.57.217.
  31. Monakhov VS, Sokhor IL. [Finite groups with formation subnormal primary subgroups]. Sibirskii matematicheskii zhurnal. 2017;58(4):851– 863. Russian. DOI: 10.17377/smzh.2017.58.412.
  32. Monakhov VS, Sokhor IL. On groups with formational subnormal Sylow subgroups. Journal of Group Theory. 2018;21:273–287. DOI: 10.1515/jgth-2017-0039.
  33. Monakhov VS, Sokhor IL. Finite groups with abnormal or formational subnormal primary subgroups. Communications in Algebra. 2019;47(10):3941–3949. DOI: 10.1080/00927872.2019.1572174.
  34. Mal’tsev AI. Algebraicheskie sistemy [Algebraic systems]. Moscow: Nauka; 1970. 392 p. Russian.
  35. Schmidt R. Subgroup lattices of groups. Berlin: Walter de Gruyter; 1994. 572 p. (de Gruyter expositions of mathematics; volume 14).
  36. Zappa G. Sui gruppi finiti per cui il reticolo dei sottogruppi di composizione è modulare. Bollettino dell’Unione Matematica Italiana. Serie 3. 1956;11(3):315–318.
  37. Bray HB. Between nilpotent and solvable. Weinstein M, editor. Passaic: Polygonal Publishing House; 1982. 231 p.
  38. Doerk K. Minimal nicht überauflösbare, endlicher Gruppen. Mathematische Zeitschrift. 1966;91(3):198–205. DOI: 10.1007/ BF01312426.
  39. Kegel OH. Zur Struktur mehrafach faktorisierbarer endlicher Gruppen. Mathematische Zeitschrift. 1965;87(1):42– 48. DOI: 10.1007/BF01109929.
Опубликован
2019-11-24
Ключевые слова: решетка подгрупп, формационное множество Фиттинга, формация Фиттинга, модулярная решетка, группа
Как цитировать
Скиба, А. Н. (2019). О некоторых классах подрешеток решетки всех подгрупп. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 3, 35-47. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-35-47
Выпуск
№ 3 (2019): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Математическая логика, алгебра и теория чисел

Copyright (c) 2019 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).