Об одном рациональном интегральном операторе типа Фурье – Чебышёва и аппроксимации функций Маркова

  • Павел Геннадьевич Поцейко Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0001-7835-0500
  • Евгений Алексеевич Ровба Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0002-1265-1965
  • Константин Анатольевич Смотрицкий Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0001-9054-8691
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27

Аннотация

Авторами статьи ставится цель построить рациональный интегральный оператор типа Фурье на основании системы рациональных функций Чебышёва – Маркова и исследовать его аппроксимационные свойства на классах функций Маркова. Вводится интегральный оператор типа Фурье – Чебышёва на основании рациональных функций Чебышёва – Маркова, представляющий собой рациональную функцию порядка не выше n, и изучаются приближения функций Маркова. Получены интегральное представление и равномерная оценка приближений. В случае когда мера μ удовлетворяет следующим условиям: suppμ = [1, a], a > 1, dμ(t) = ϕ(t)dt и ϕ(t) ἆ (t − 1)α на [1, a] установлены оценки поточечных и равномерных приближений и асимптотическое выражение при n→∞ мажоранты  равномерных приближений. При фиксированном количестве геометрически различных полюсов в расширенной комплексной плоскости найдены оптимальные значения параметров, обеспечивающие наибольшую скорость убывания этой мажоранты, а также асимптотически точные оценки наилучших равномерных приближений этим методом при четном количестве геометрически различных полюсов аппроксимирующей функции. Приведены асимптотические оценки приближений некоторых элементарных функций, представимых функциями Маркова.

Биографии авторов

Павел Геннадьевич Поцейко, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

аспирант кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики. Научный руководитель – Е. А. Ровба

Евгений Алексеевич Ровба, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Константин Анатольевич Смотрицкий, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Литература

  1. Gonchar AA. On the speed of rational approximation of some analytic functions. Matematicheskii sbornik. 1978;105(2):147–163. Russian.
  2. Ganelius Т. Orthogonal polynomials and rational approximation of holomorphic functions. In: Erdős P, Alpár L, Halász G, Sárközy A, editors. Studies in Pure Mathematics. Basel: Birkhäuser; 1978. p. 237–243. DOI: 10.1007/978-3-0348-5438-2_22.
  3. Andersson JE. Best rational approximation to Markov functions. Journal of Approximation Theory. 1994;76(2):219–232. DOI: 10.1006/jath.1994.1015.
  4. Pekarskii AA. Best uniform rational approximations to Markov functions. Algebra i analiz. 1995;7(2):121–132. Russian.
  5. Braess D. Rational approximation of Stieltjes functions by the Caratheodory – Fejer method. Constructive Approximation. 1987;3(1):43–50. DOI: 10.1007/BF01890552.
  6. Baratchart L, Stahl H, Wielonsky F. Asymptotic error estimates for L2 best rational approximants to Markov functions. Journal of Approximation Theory. 2001;108(1):53–96. DOI: 10.1006/jath.2000.3515.
  7. Prokhorov VA. On rational approximation of Markov functions on finite sets. Journal of Approximation Theory. 2015;191 Special number:94–117. DOI: 10.1016/j.jat.2014.10.006.
  8. Vyacheslavov NS, Mochalina EP. Rational approximations of functions of Markov – Stieltjes type in Hardy spaces H p, 0 < p ≤ ∞. Moscow University Mathematics Bulletin. 2008;63(4):125–134. DOI: 10.3103/S0027132208040013.
  9. Pekarskii AA, Rovba EA. Uniform approximations of Stieltjes functions by orthogonal projection on the set of rational functions. Matematicheskie zametki. 1999;65(3):362–368. Russian. DOI: 10.1007/BF02675071.
  10. Takenaka S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations. Japanese Journal of Mathematics. 1925;2:129–145. DOI: 10.4099/jjm1924.2.0_129.
  11. Malmquist F. Sur la détermination d’une classe de fonctions analytiques par leurs valeurs dans un ensemble donné de points. In: Comptes Rendus du Sixtiéme Congrés des mathématiciens scandinaves. Copenhagen: [publisher unknown]; 1926. p. 253–259.
  12. Dzhrbashyan MM, Kitbalyan AA. On a generalization of Chebyshev polynomials. Doklady Akademii nauk Armyanskoi SSR. 1964;38(5):263–270. Russian.
  13. Lungu KN. On best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Matematicheskii sbornik. 1971;86(2):314–324. Russian.
  14. Lungu KN. On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Sibirskii matematicheskii zhurnal. 1984;25(2):151–160. Russian.
  15. Rovba EA, Mikulich EG. Constants in rational approximation of Markov – Stieltjes functions with fixed number of poles. Vesnik Grodzenskaga dzjarzhawnaga wniversitjeta imja Janki Kupaly. Seryja 2. Matjematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichalʼnaja tjehnika i kiravanne. 2013;1:12–20.
  16. Evgrafov MA. Asimptoticheskie otsenki i tselye funktsii [Asymptotic estimates and entire functions]. Moscow: Nauka; 1979. 320 p.
  17. Fedoryuk MV. Asimptotika: integraly i ryady [Asymptotics: integrals and series]. Moscow: Nauka; 1987. 544 p. Russian.
  18. Patseika PG, Rouba YA. Fejer means of rational Fourier – Chebyshev series and approximation of function x s. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2019;3:18–34. Russian. DOI: 10.33581/2520-6508-2019-3-18-34.
  19. Markov AA. Izbrannye trudy [Selected papers]. Moscow: Gostekhizdat; 1948. 412 p. Russian.
  20. Suetin PK. Klassicheskie ortogonal’nye mnogochleny [Classical orthogonal polynomials]. Moscow: Fizmatlit; 2005. 480 p. Russian.
  21. Dzhrbashyan MM. [On the theory of Fourier series in terms of rational functions]. Izvestiya AN ASSR. Seriya fiziko­matematicheskikh nauk. 1956;9(7):3–28. Russian.
  22. Rovba EA. [On a direct method in a rational approximation]. Doklady AN BSSR. 1979;23(11):968–971. Russian.
  23. Rovba EA, Mikulich EG. Constants in the approximation of x using the rational interpolation processes. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus. 2009;53(6):11–15. Russian.
  24. Mikulich EG. [Exact estimates of uniform approximations of function sinx by partial sums of Fourier series by rational functions]. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika. 2011;1:84–90. Russian.
  25. Bernstein SN. Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation des fonctions analytiques, admettant des singularités donnése. Bulletin de l’Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux­Arts de Belgique. 1913;2:76–90.
  26. Bernshtein SN. Ekstremal’nye svoistva polinomov i nailuchshee priblizhenie nepreryvnykh funktsii odnoi veshchestvennoi peremennoi. Chast’ 1 [Extremal properties of polynomials and the best approximation of continuous functions of one real variable. Part 1]. Moscow: Glavnaya redaktsiya obshchetekhnicheskoi literatury; 1937. 200 p. Russian.
  27. Rovba EA, Potseiko PG. [Approximation of a function x s on a segment [−1, 1] by partial sums of the rational Fourier – Chebyshev series]. Vesnik Grodzenskaga dzjarzhawnaga wniversitjeta imja Janki Kupaly. Seryja 2. Matjematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichalʼnaja tjehnika i kiravanne. 2019;9(3):16–28. Russian.
  28. Rouba Y, Patseika P, Smatrytski K. On a system of rational Chebyshev – Markov fractions. Analysis Mathematica. 2018;44(1):115–140. DOI: 10.1007/s10476-018-0110-7.
  29. Rovba EA. An approximation of sinx by rational Fourier series. Matematicheskie zametki. 1989;46(2):52–59. Russian. DOI: 10.1007/BF01158146.
Опубликован
2020-07-30
Ключевые слова: функция Маркова, рациональный интегральный оператор типа Фурье, рациональная функция Чебышёва – Маркова, мажоранта равномерных приближений, асимптотическая оценка, наилучшее приближение, точная константа
Как цитировать
Поцейко, П. Г., Ровба, Е. А., & Смотрицкий, К. А. (2020). Об одном рациональном интегральном операторе типа Фурье – Чебышёва и аппроксимации функций Маркова. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 2, 6-27. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27
Выпуск
№ 2 (2020): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Copyright (c) 2020 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).