О некоторых свойствах решетки тотально σ-локальных формаций конечных групп

Аннотация

Все рассматриваемые в статье группы являются конечными. Пусть $σ=\{σ_i{}|i\in I\}$ – некоторое разбиение множества всех простых чисел $\Bbb{P}$. Если $n$ – целое число, $G$ – группа и $\mathfrak{F}$ – класс групп, то $σ(n)=\{σ_i{}|σ_i{}\cap \pi(n)\ne \emptyset\}$, $σ(G)=σ(|G|)$ и $σ(\mathfrak{F})=\cup _G{}_\in{}_\mathfrak{F}σ(G)$. Функция $f$ вида $f\colon σ\to$ {формации групп} называется формационной $σ$-функцией. Для всякой формационной $σ$-функции $f$ класс $LF_σ(f)$ определяется следующим образом:

$LF_{\sigma}(f)=(G|G=1$ или $G\ne1$ и $G/O_σ{}'_i{}_,{}_σ{}_i{}(G)\in f(σ_i{})$ для всех $σ_i{}\in σ(G))$.

Если для некоторой формационной $σ$-функции $f$ имеет место $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f)$, то класс $\mathfrak{F}$ называют $σ$-локальным, а формационную $σ$-функцию $f$ – $σ$-локальным определением $\mathfrak{F}$. Всякую формацию считают 0-кратно $σ$-локальной. При $n$ > 0 формацию $\mathfrak{F}$ называют $n$-кратно $σ$-локальной, если $\mathfrak{F}$ = (1) – класс всех единичных групп или $\mathfrak{F}=LF_{\sigma}(f)$, где $f(σ_i{})$ является $(n – 1)$-кратно $σ$-локальной формацией для всех $σ_i{}\in σ(\mathfrak{F})$. Формацию называют тотально $σ$-локальной, если она $n$-кратно $σ$-локальна для всякого целого неотрицательного числа $n$. Цель данной работы – изучение свойств решетки тотально $σ$-локальных формаций. В частности, мы доказываем, что решетка всех тотально $σ$-локальных формаций является алгебраической и дистрибутивной.