Первая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на полупрямой

  • Федор Егорович Ломовцев Белорусский государственный университет, пр. Независимости 4, 220030, г. Минск, Беларусь https://orcid.org/0000-0002-5321-7030
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2021-1-18-38

Аннотация

Впервые получена явная формула единственного и устойчивого классического решения неоднородного модельного телеграфного уравнения с переменной скоростью в части первой четверти плоскости, где заданы граничное и начальные условия. Доказана корректность первой смешанной задачи для общего неоднородного телеграфного уравнения в первой четверти плоскости. Существование классического решения установлено методом продолжения по параметру с помощью теорем о повышении гладкости сильных решений. Единственность этого решения выведена из энергетического неравенства для сильных решений. Установлена устойчивость решения и получены необходимые и достаточные условия гладкости граничного и начальных данных и три условия их согласования с правой частью уравнения. Для правой части уравнения указаны достаточные требования гладкости.

Биография автора

Федор Егорович Ломовцев, Белорусский государственный университет, пр. Независимости 4, 220030, г. Минск, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; профессор кафедры математической кибернетики механико-математического факультета

Литература

  1. Baranovskaya SN. O klassicheskom reshenii pervoi smeshannoi zadachi dlya odnomernogo giperbolicheskogo uravneniya [On the classical solution of the first mixed problem for a one-dimensional hyperbolic equation] [dissertation]. Minsk: Belarusian State University; 1991. 59 p. Russian.
  2. Lomovtsev FE. [The method of auxiliary mixed problems for a semi-infinite string]. In: Krasovskii SG, editor. Shestye Bogdanovskie chteniya po obyknovennym differentsial’nym uravneniyam. Materialy Mezhdunarodnoi matematicheskoi konferentsii; 7–10 dekabrya 2015 g.; Minsk, Belarus’. Chast’ 2. Teoriya ustoichivosti i upravleniya dvizheniem. Stokhasticheskie differentsial’nye uravneniya. Differentsial’nye uravneniya v chastnykh proizvodnykh. Metodika prepodavaniya matematiki [The 6th Bogdanov readings on ordinary differential equations. Materials of the International mathematical conference; 2015 December 7–10; Minsk, Belarus. Part 2. The theory of stability and motion control. Stochastic differential equations. Partial differential equations. Methods of teaching mathematics]. Minsk: Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Belarus; 2015. p. 74–75. Russian.
  3. Moiseev EI, Yurchuk NI. [Classical and generalized solutions to problems for telegraph equations with the Dirac potential]. Differentsial’nye uravneniya. 2015;51(10):1338–1344. Russian. DOI: 10.1134/S0374064115100088.
  4. Baranovskaya SN, Novikov EN, Yurchuk NI. [The oblique derivative problem in the boundary condition for the telegraph equation with the Dirac potential]. Differentsial’nye uravneniya. 2018;54(9):1176–1183. Russian. DOI: 10.1134/S0374064118090030.
  5. Anikonov DS, Konovalova DS. [Generalized d’Alembert formula for the wave equation with discontinuous coefficients]. Differentsial’nye uravneniya. 2019;55(2):265–268. Russian. DOI: 10.1134/S0374064119020134.
  6. Khromov AP. [On the convergence of the formal Fourier solution of the wave equation with a summable potential]. Zhurnal vychislitel’noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 2016;56(10):1795–1809. Russian. DOI: 10.7868/S0044466916100112.
  7. Kornev VV, Khromov AP. Resolvent approach to Fourier method in a mixed problem for non-homogeneous wave equation. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika. 2016;16(4):403–413. Russian. DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-403-413.
  8. Khromov AP. [Mixed problem for wave equation with summable potential and nonzero initial velocity]. Doklady Akademii nauk. 2017;474(6):668–670. Russian.
  9. Khromov AP. On classic solution of the problem for a homogeneous wave equation with fixed end-points and zero initial velocity. Izvestiya Saratovskogo universiteta. Novaya seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika. 2019;19(3):280–288. Russian. DOI: 10.18500/1816-9791-2019-19-3-280-288.
  10. Khromov AP, Kornev VV. [Classical and generalized solutions of a mixed problem for a non-homogeneous wave equation]. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 2019;59(2):286–300. Russian. DOI: 10.1134/S0044466919020091.
  11. Khromov AP. [Necessary and sufficient conditions for the existence of a classical solution of a mixed problem for a homogeneous wave equation with an integrable potential]. Differentsial’nye uravneniya. 2019;55(5):717–731. Russian. DOI: 10.1134/S0374064119050121.
  12. Khromov AP, Kornev VV. Classical and generalized of a mixed problem – solutions for a non-homogeneous wave equation. Doklady Akademii nauk. 2019;484(1):18–20. Russian. DOI: 10.31857/S0869-5652484118-20.
  13. Kornev VV, Khromov AP. Divergent series and generalized solution of a mixed problem for wave equation. In: Sovremennye metody teorii kraevykh zadach. Materialy mezhdunarodnoi konferentsii. Voronezhskaya vesennyaya matematicheskaya shkola «Pontryaginskie chteniya – XXXI»; 3–9 maya 2020 g.; Voronezh, Rossiya [Modern methods of the theory of boundary value problems. Materials of the International conference. Voronezh spring mathematical school «Pontryagin readings – XXXI»; 2020 May 3–9; Voronezh, Russia]. Voronezh: Nauka-Yunipress; 2020. p. 99–102. Russian.
  14. Lomov IS. d’Alembert generalized formula for the telegraph equation in case of a substantially non-self-adjoint operator. In: Sovremennye metody teorii kraevykh zadach. Materialy mezhdunarodnoi konferentsii. Voronezhskaya vesennyaya matematicheskaya shkola «Pontryaginskie chteniya – XXXI»; 3–9 maya 2020 g.; Voronezh, Rossiya [Modern methods of the theory of boundary value problems. Materials of the International conference. Voronezh spring mathematical school «Pontryagin readings – XXXI»; 2020 May 3–9; Voronezh, Russia]. Voronezh: Nauka-Yunipress; 2020. p. 124–126. Russian.
  15. Courant R, Hilbert D. Methods of mathematical physics. Volume II. Partial differential equations. New York: Wiley; 1962. XXII, 830 p. Russian edition: Courant R. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi. Venttsel’ TD, translator; Oleinik OA, editor. Moscow: Mir; 1964. 830 p.
  16. Lomovtsev FE, Lysenko VV. Non-characteristic mixed problem for a one-dimensional wave equation in the first quarter of the plane with non-stationary boundary second derivatives. Vesnik Vicebskaga dzjarzhawnaga wniversitjeta. 2019;3:5–17. Russian.
  17. Lomautsau FE. Correction method of test solutions of the general wave equation in the first quarter of the plane for minimal smoothness of its right-hand side. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2017;3:38–52. Russian.
  18. Schauder J. Über lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Mathematische Zeitschrift. 1934;38:257–282. DOI: 10.1007/BF01170635.
  19. Ladyzhenskaya OA. Kraevye zadachi matematicheskoi fiziki [Boundary-value problems of mathematical physics]. Moscow: Nauka; 1973. 408 p. Russian.
  20. Yurchuk NI. [Partially characteristic boundary value problem for one kind of partial differential equations. II]. Differentsial’nye uravneniya. 1969;5(3):531–542. Russian.
  21. Lomautsau FE. [On necessary and sufficient conditions for the unique solvability of the Cauchy problem for second-order hyperbolic differential equations with a variable domain of definition of operator coefficients]. Differentsial’nye uravneniya. 1992;28(5):873–886. Russian.
  22. Lomautsau FE. [Smoothness of strong solutions of complete hyperbolic second-order differential equations with variable domains of operator coefficients]. Differentsial’nye uravneniya. 2001;37(2):276–278. Russian.
  23. Lions J-L, Magenes E. Problèmes aux limites non homogènes et applications. Volume 1. Paris: Dunod; 1968. XIX, 372 p. Russian edition: Lions J-L, Magenes E. Neodnorodnye granichnye zadachi i ikh prilozheniya. Frank LS, translator; Grushin VV, editor. Moscow: Mir; 1971. 371 p.
  24. Yosida K. Functional analysis. Berlin: Springer-Verlag; 1965. XI, 458 p. Russian edition: Yosida K. Funktsional’nyi analiz. Volosov VM, translator. Moscow: Mir; 1967. 623 p.
Опубликован
2021-04-12
Ключевые слова: общее телеграфное уравнение, модельное телеграфное уравнение, переменные коэффициенты, неявные характеристики, смешанная задача, классическое решение, критическая характеристика
Как цитировать
Ломовцев, Ф. Е. (2021). Первая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными коэффициентами на полупрямой. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 1, 18-38. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2021-1-18-38
Выпуск
№ 1 (2021): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Дифференциальные уравнения и оптимальное управление

Copyright (c) 2021 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).