Бирациональная композиция произвольной квадратичной формы с бинарной квадратичной формой
Аннотация
Пусть f(X) и g(Y) – невырожденные квадратичные формы размерностей m и n соответственно над полем K, charK ≠ 2. Рассматривается проблема бирациональной композиции f(X) и g(Y): когда произведение f(X)g(Y) бирационально эквивалентно над K квадратичной форме h(Z) над K размерности m + n? Основной результат статьи – полное решение проблемы бирациональной композиции квадратичных форм f(X) и g(Y) над полем K при m = 2. Получены необходимые и достаточные условия существования бирациональной композиции h(Z) для квадратичных форм f(X) и g(Y) над полем K при m = 2. Описано множество квадратичных форм, которые подходят в качестве h(Z) в этом случае.
Литература
- Hurwitz A. Über die Komposition der quadratischen Formen. Mathematische Annalen. 1922;88(1–2):1–25. DOI: 10.1007/BF01448439.
- Radon J. Lineare Scharen orthogonaler Matrizen. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 1922;1(1):1–14. DOI: 10.1007/BF02940576.
- Lam KY. Topological methods for studying the composition of quadratic forms. In: Riehm CR, Hambleton I, editors. Quadratic and Hermitian forms [Conference on quadratic forms and Hermitian K-theory, held at McMaster University; 1983 July 11–22; Hamilton, Ontario, Canada]. Providence: American Mathematical Society; 1984. p. 173–192 (CMS conference proceedings; volume 4).
- Pfister A. Multiplikative quadratische Formen. Archiv der Mathematic. 1965;16(1):363–370. DOI: 10.1007/BF01220043.
- Bondarenko AA. [On the birational composition of quadratic forms]. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series. 2007;4:56–61. Russian.
- Bondarenko AA. [Birational composition of quadratic forms over a local field]. Matematicheskie zametki. 2009;85(5):661–670. DOI: 10.4213/mzm4673. Russian.
- Bondarenko AA. [The birational composition of quadratic forms over a finite field]. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika. 2010;3:90–93. Russian.
- Bondarenko AA. [The birational composition of quadratic forms over a function field]. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series. 2014;3:28–32. Russian.
- Bondarenko AA. [The birational composition of ternary quadratic forms]. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika. 2012;2:106–110. Russian.
- Serre J-P. Cours d’arithmétique. Paris: Presses Universitaires de France; 1970. 188 p. Russian edition: Serre J-P. Kurs arifmetiki. Skopin AI, translator; Malyshev AV, editor. Moscow: Mir; 1972. 184 p.
- Knebusch M, Scharlau W. Algebraic theory of quadratic forms. Generic methods and Pfister forms. Boston: Birkhäuser; 1980. 44 p. (DMV seminar; 1).
Copyright (c) 2022 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:
- Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
- Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).