О мероморфных решениях уравнений, связанных с нестационарной иерархией второго уравнения Пенлеве

  • Елена Валерьевна Громак Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь https://orcid.org/0000-0003-3646-6227
  • Валерий Иванович Громак Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Аннотация

Рассматривается нестационарная иерархия второго уравнения Пенлеве, которая представляет собой последовательность полиномиальных обыкновенных дифференциальных уравнений четного порядка, имеющих единую дифференциально-алгебраическую структуру, определяемую оператором LN. Первый член этой иерархии при N = 1 есть второе уравнение Пенлеве, а последующие уравнения порядка 2N содержат произвольные параметры. Их также называют обобщенными высшими аналогами второго уравнения Пенлеве порядка 2N. С данной иерархией связаны иерархии первого уравнения Пенлеве и уравнения P34 из классификационного списка канонических уравнений Пенлеве. Кроме того, рассматривается линейное уравнение второго порядка, коэффициенты которого определяются решениями уравнений нестационарной иерархии второго уравнения Пенлеве и уравнения P34. С использованием метода Фробениуса получены достаточные условия мероморфности общего решения линейных уравнений второго порядка с коэффициентами, определяемыми решениями первых трех уравнений нестационарной иерархии второго уравнения Пенлеве и уравнения P34. Также получены достаточные условия рациональности общего решения линейных уравнений второго порядка с коэффициентами, определяемыми рациональными решениями уравнений нестационарной иерархии второго уравнения Пенлеве и уравнения P34.

Биографии авторов

Елена Валерьевна Громак, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры теории функций механико-математического факультета

Валерий Иванович Громак, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; профессор кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа механико-математического факультета

Литература

  1. Ince EL. Obyknovennye differentsial’nye uravneniya [Ordinary differential equations]. Efros AM, editor. Kharkiv: Nauchno-tekhnicheskoe izdatel’stvo Ukrainy; 1939. 719 p. Russian.
  2. Gromak VI, Laine I, Shimomura S. Painlevé differential equations in the complex plane. Berlin: De Gruyter; 2002. 303 p. (De Gruyter studies in mathematics; volume 28). DOI: 10.1515/9783110198096.
  3. Kudryashov NA. Metody nelineinoi matematicheskoi fiziki [Methods of nonlinear mathematical physics]. Dolgoprudny: Intellekt; 2010. 364 p. Russian.
  4. Its AR, Kapaev AA, Novokshenov VYu, Fokas AS. Transtsendenty Penleve. Metod zadachi Rimana [Painlevé transcendents. Method of the Riemann problem]. Moscow: Institut komp’yuternykh issledovanii; 2005. 728 p. Co-published by the «Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika». Russian.
  5. Conte R, Musette M. The Painlevé handbook. Dordrecht: Springer; 2008. XXIII, 256 p.
  6. Gromak VI. Bäcklund transformatios of the higher order Painlevé equations. In: Coley A, Levi D, Milson R, Rogers C, Winternitz P, editors. Bäcklund and Darboux transformations. The geometry of solitons. AARMS – CRM workshop; 1999 June 4–9; Halifax, Canada. Providence: American Mathematical Society; 2001. p. 3–28 (CRM proceedings and lecture notes; volume 29).
  7. Clarkson PA, Joshi N, Pickering A. Bäcklund transformations for the second Painlevé hierarchy: a modified truncation approach. Inverse Problems. 1999;15(1):175–187. DOI: 10.1088/0266-5611/15/1/019.
  8. Clarkson PA, Mansfield EL. The second Painlevé equation, its hierarchy and associated special polynomials. Nonlinearity. 2003;16(3):R1 – R26. DOI: 10.1088/0951-7715/16/3/201.
  9. Sakka AH. Linear problems and hierarchies of Painlevé equations. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009; 42(2):025210. DOI: 10.1088/1751-8113/42/2/025210.
  10. Goursat É. Cours d’analyse mathématique. Tome 3, Intégrales infiniment voisines. Équations aux dérivées partielles du second ordre. Équations intégrales. Calcul des variations. 5e édition. Paris: Gauthier-Villars; 1933. 702 p. Russian edition: Goursat É. Kurs matematicheskogo analiza. Tom 3. Chast’ 2, Integral’nye uravneniya. Variatsionnoe ischislenie. Shestopal MG, translator; Stepanov VV, editor. Moscow: Gosudarstvennoe tekhniko-teoreticheskoe izdatel’stvo; 1934. 318 p.
  11. Gromak VI. [Analytic properties of solutions to equations in the generalized hierarchy of the second Painlevé equation]. Differentsial’nye uravneniya. 2020;56(8):1017–1033. Russian. DOI: 10.1134/S0374064120080038.
  12. Kudryashov NA. Amalgamations of the Painlevé equations. Journal of Mathematical Physics. 2003;44(12):6160–6178. DOI: 10.1063/1.1623332.
  13. Bobrova I. On symmetries of the non-stationary PnII¬ hierarchy and their applications. arXiv:2010.10617v2 [Preprint]. 2020 [cited 2020 November 23]: [25 p.]. Available from: https://arxiv.org/abs/2010.10617v2.
  14. Airault H. Rational solutions of Painlevé equations. Studies in Applied Mathematics. 1979;61(1):31–53. DOI: 10.1002/sapm 197961131.
  15. Okamoto K. Studies on the Painlevé equations. III. Second and fourth Painlevé equations, PII and PIV. Mathematische Annalen. 1986;275(2):221–255. DOI: 10.1007/BF01458459.
  16. Gromak VI, Zenchenko AS. On the theory of higher-order Painlevé equations. Differential Equations. 2004;40(5):625–633. DOI: 10.1023/B:DIEQ.0000043520.27878.5c.
  17. Gromak VI, Golubeva LL. [Generalized second Painlevé equation of the fourth order]. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series. 2005;4:5–10. Russian.
  18. Golubeva LL, Zenchenko AS. [Some properties of solutions of the equation ().42P Trudy Instituta matematiki. 2004;12(2): 54–56. Russian.
  19. Gromak VI. [Solutions of the fourth-order equation in the generalized hierarchy of the second Painlevé equation]. Differentsial’nye uravneniya. 2019;55(3):337–347. Russian. DOI: 10.1134/S0374064119030075.
  20. Gromak VI. [On the properties of solutions of the equations in the generalized hierarchy of the equation P34]. Differentsial’nye uravneniya. 2022;58(2):153–163. Russian.
  21. Hinkkanen A, Laine I. Solutions of the first and second Painlevé equations are meromorphic. Journal d’Analyse Mathématique. 1999;79:345–377. DOI: 10.1007/BF02788247.
  22. Domrin AV, Suleimanov BI, Shumkin MA. [Global meromorphy of solutions of the Painlevé equations and their hierarchies]. Trudy Matematicheskogo instituta imeni V. A. Steklova. 2020;311:106–122. Russian. DOI: 10.4213/tm4116.
  23. Domrin AV, Shumkin MA, Suleimanov BI. Meromorphy of solutions for a wide class of ordinary differential equations of Painlevé type. Journal of Mathematical Physics. 2022;63(2):023501. DOI: 10.1063/5.0075416.
  24. Gromak EV. On meromorphic solutions of the linear equations of the second order related to the second Painlevé equation. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2, Mathematics. Physics. Informatics, Сomputer Technology and its Сontrol. 2022;12(3):42–49. Russian.
  25. Gromak EV, Gromak VI. [On global meromorphy of solutions of the linear equations related to the second Painlevé equation and its hierarchy]. In: Amel’kin VV, Antonevich AB, Astrovskii AI, Vas’kovskii MM, Gladkov AL, Gromak VI, et al., editors. Eruginskie chteniya – 2023. Materialy XXI Mezhdunarodnoi nauchnoi konferentsii po differentsial’nym uravneniyam; 23–27 maya 2023 g.; Mogilev, Belarus’. Chast’ 1 [Erugin readings – 2023. Proceedings of the 21st International scientific conference on differential equations; 2023 May 23–27; Mogilev, Belarus. Part 1]. Mogilev: Belarusian-Russian University; 2023. p. 9–11. Russian.
  26. Gromak EV. On meromorphic solutions of the equations related to the first Painlevé equation. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2022;2:15–22. Russian. DOI: 10.33581/2520-6508-2022-2-15-22.
Опубликован
2023-12-13
Ключевые слова: уравнения Пенлеве, иерархия второго уравнения Пенлеве, мероморфные решения
Как цитировать
Громак, Е. В., & Громак, В. И. (2023). О мероморфных решениях уравнений, связанных с нестационарной иерархией второго уравнения Пенлеве. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 3, 19-31. Доступно по https://journals.bsu.by/index.php/mathematics/article/view/5780
Выпуск
№ 3 (2023): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Дифференциальные уравнения и оптимальное управление

Copyright (c) 2023 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).