О решениях нелинейных стационарных уравнений, связанных с обобщенной иерархией второго уравнения Пенлеве

Авторы

  • Валерий Иванович Громак Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Ключевые слова:

иерархии уравнений Пенлеве, мероморфные решения, преобразования Беклунда

Аннотация

Рассматриваются аналитические свойства решений нелинейных стационарных уравнений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве и связанных с ней иерархий первого уравнения Пенлеве и уравнения P34 из классификационного списка Пенлеве. Исследуются локальные свойства решений: разложение решений в окрестности подвижных полюсов, построение целых функций (тау-функций), дающих представление мероморфных решений. Для рассматриваемых стационарных иерархий приводятся преобразования и автопреобразования Беклунда, с помощью которых строятся трансцендентные и рациональные решения. Для начальных уравнений исследуемых иерархий получены первые интегралы, которые далее используются для доказательства вложимости множества решений уравнения иерархии с меньшим номером во множество решений уравнения иерархии с большим номером. Приводятся соотношения между параметрами уравнений с вложимыми множествами решений.

Биография автора

  • Валерий Иванович Громак, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

    доктор физико-математических наук, профессор; профессор кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа механико-математического факультета

Библиографические ссылки

  1. Айнс ЭЛ. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Эфрос АМ, редактор. Харьков: Государственное научно-техническое издательство Украины; 1939. 719 с.
  2. Iwasaki K, Kimura H, Shimomura S, Yoshida M. From Gauss to Painlevé: a modern theory of special functions. Braunschweig: Vieweg; 1991. X, 347 p. (Diederich K, editor. Aspects of mathematics; volume E16). DOI: 10.1007/978-3-322-90163-7.
  3. Кудряшов НА. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. 2-е издание. Москва: Институт компьютерных исследований; 2004. 360 с. (Современная математика).
  4. Its AR, Novokshenov VYu. The isomonodromic deformation method in the theory of Painlevé equations. Berlin: Springer-Verlag; 1986. IV, 313 p. (Dold A, Eckmann B, editors. Lecture notes in mathematics; volume 1191). DOI: 10.1007/BFb0076661.
  5. Kitaev AV. Special functions of the isomonodromy type. Acta Applicandae Mathematicae. 2000;64(1):1–32. DOI: 10.1023/A:1006390032014.
  6. Gromak VI, Laine I, Shimomura S. Painlevé differential equations in the complex plane. Berlin: Walter de Gruyter; 2002. VIII, 303 p. (Kenig C, Ranicki A, Röckner M, editors. de Gruyter studies in mathematics; volume 28). DOI: 10.1515/9783110198096.
  7. Итс АР, Капаев АА, Новокшенов ВЮ, Фокас АС. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи Римана. Москва: Институт компьютерных исследований; 2005. 728 с. Совместно с научно-издательским центром «Регулярная и хаотическая динамика».
  8. Clarkson PA. Painlevé equations – nonlinear special functions. In: Marcellán F, Van Assche W, editors. Orthogonal polynomials and special functions: computation and applications. Berlin: Springer-Verlag; 2006. p. 331–411 (Morel J-M, Takens F, Teissier B, editors. Lecture notes in mathematics; volume 1883). DOI: 10.1007/b128597.
  9. Airault H. Rational solutions of Painlevé equations. Studies in Applied Mathematics. 1979;61(1):31–53. DOI: 10.1002/sapm197961131.
  10. Noumi M, Yamada Y. Higher order Painlevé equations of type Al(1). Funkcialaj Ekvacioj. 1998;41(3):483–503.
  11. Kudryashov NA. The first and second Painlevé equations of higher order and some relations between them. Physics Letters A. 1997;224(6):353–360. DOI: 10.1016/S0375-9601(96)00795-5.
  12. Gordoa PR, Pickering A. Nonisospectral scattering problems: a key to integrable hierarchies. Journal of Mathematical Physics. 1999;40(11):5749–5786. DOI: 10.1063/1.533055.
  13. Joshi N. The second Painlevé hierarchy and the stationary KdV hierarchy. Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. 2004;40(3):1039–1061. DOI: 10.2977/prims/1145475502.
  14. Sakka AH. Linear problems and hierarchies of Painlevé equations. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2009;42(2):025210. DOI: 10.1088/1751-8113/42/2/025210.
  15. Clarkson PA, Mansfield EL. The second Painlevé equation, its hierarchy and associated special polynomials. Nonlinearity. 2003;16(3):R1 – R26. DOI: 10.1088/0951-7715/16/3/201.
  16. Bobrova I. On symmetries of the non-stationary PII(n) hierarchy and their applications. arXiv:2010.10617v4 [Preprint]. 2023 [cited 2025 January 10]: [25 p.]. Available from: https://arxiv.org/abs/2010.10617v4.
  17. Clarkson PA, Joshi N, Pickering A. Bäcklund transformations for the second Painlevé hierarchy: a modified truncation approach. Inverse Problems. 1999;15(1):175–187. DOI: 10.1088/0266-5611/15/1/019.
  18. Gromak VI. Bäcklund transformations of Painlevé equations and their applications. In: Conte R, editor. The Painlevé property: one century later. New York: Springer; 1999. p. 687–734 (CRM series in mathematical physics). DOI: 10.1007/978-1-4612-1532-5_12.
  19. Gordoa PR, Muğan U, Pickering A, Sakka A. Bäcklund transformations for higher order Painlevé equations. Chaos, Solitons and Fractals. 2004;22(5):1103–1115. DOI: 10.1016/j.chaos.2004.02.055.
  20. Громак ВИ. О трансцендентности уравнений Пенлеве. Дифференциальные уравнения. 1996;32(2):154–160. EDN: WNZFYM.
  21. Громак ВИ. О трансцендентности пятого и шестого уравнений Пенлеве. Дифференциальные уравнения. 1996;32(4):559–561. EDN: DETNFQ.
  22. Żołądek H, Filipuk G. Painlevé equations, elliptic integrals and elementary functions. Journal of Differential Equations. 2015;258(4):1303–1355. DOI: 10.1016/j.jde.2014.10.018.
  23. Громак ВИ. Аналитические свойства решений уравнений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве. Дифференциальные уравнения. 2020;56(8):1017–1033. EDN: BJNNZD.
  24. Cosgrove CM. Higher-order Painlevé equations in the polynomial class II: Bureau symbol P1. Studies in Applied Mathematics. 2006;116(4):321–413. DOI: 10.1111/j.1467-9590.2006.00346.x.
  25. Громак ВИ. О свойствах решений уравнений обобщенной иерархии уравнения P34. Дифференциальные уравнения. 2022;58(2):153–163. EDN: AUZJAR.
  26. Громак ВИ. О преобразованиях Беклунда нелинейных уравнений. Дифференциальные уравнения. 1993;29(6):1067–1068. EDN: OMHBOU.
  27. Уиттекер ЭТ, Ватсон ДжН. Курс современного анализа. Часть 1, Основные операции анализа. Широков ФВ, редактор. 2-е издание. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы; 1963. 343 c.
  28. Громак ВИ. О преобразованиях Беклунда стационарных уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве. Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. 2024;60(3):195–202. DOI: 10.29235/1561-2430-2024-60-3-195-202.

Загрузки

Опубликован

2025-05-13

Выпуск

№ 1 (2025): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Раздел

Дифференциальные уравнения и оптимальное управление

Лицензия

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).

Как цитировать

[1]
Громак, В.И. 2025. О решениях нелинейных стационарных уравнений, связанных с обобщенной иерархией второго уравнения Пенлеве. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 1 (май 2025), 40–50.