Спектральный метод Чебышева для решения полного обобщенного уравнения Прандтля

Аннотация

Статья посвящена проблеме построения вычислительных схем для решения интегро-дифференциальных уравнений Прандтля, возникающих во многих задачах механики. В ней разработаны приближенные численные алгоритмы для решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений вида обобщенного уравнения Прандтля. Предлагаемые приближенные вычислительные схемы основаны на представлении решения уравнения в виде разложения по ортогональному базису полиномов Чебышева. Использование известных спектральных соотношений позволило получить аналитическое выражение для сингулярной составляющей уравнения. Как следствие, разработанная методика демонстрирует высокую точность и экспоненциальную скорость сходимости приближенного решения относительно степени интерполяционных многочленов. Вычислительные качества данной методики продемонстрированы на тестовом примере. В частности, показано, что дискретная модель, основанная на представлении решения в виде разложения по многочленам Чебышева, приводит к хорошо обусловленной системе линейных алгебраических уравнений для коэффициентов разложения, а скорость сходимости погрешности приближенного решения может достигать линейной скорости относительно степени интерполяционного многочлена.