Об одном рациональном интегральном операторе типа Фурье – Чебышёва и аппроксимации функций Маркова

Авторы

  • Павел Геннадьевич Поцейко Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0001-7835-0500
  • Евгений Алексеевич Ровба Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0002-1265-1965
  • Константин Анатольевич Смотрицкий Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0001-9054-8691

Ключевые слова:

функция Маркова, рациональный интегральный оператор типа Фурье, рациональная функция Чебышёва – Маркова, мажоранта равномерных приближений, асимптотическая оценка, наилучшее приближение, точная константа

Аннотация

Авторами статьи ставится цель построить рациональный интегральный оператор типа Фурье на основании системы рациональных функций Чебышёва – Маркова и исследовать его аппроксимационные свойства на классах функций Маркова. Вводится интегральный оператор типа Фурье – Чебышёва на основании рациональных функций Чебышёва – Маркова, представляющий собой рациональную функцию порядка не выше n, и изучаются приближения функций Маркова. Получены интегральное представление и равномерная оценка приближений. В случае когда мера μ удовлетворяет следующим условиям: suppμ = [1, a], a > 1, dμ(t) = ϕ(t)dt и ϕ(t) ἆ (t − 1)α на [1, a] установлены оценки поточечных и равномерных приближений и асимптотическое выражение при n→∞ мажоранты  равномерных приближений. При фиксированном количестве геометрически различных полюсов в расширенной комплексной плоскости найдены оптимальные значения параметров, обеспечивающие наибольшую скорость убывания этой мажоранты, а также асимптотически точные оценки наилучших равномерных приближений этим методом при четном количестве геометрически различных полюсов аппроксимирующей функции. Приведены асимптотические оценки приближений некоторых элементарных функций, представимых функциями Маркова.

Биографии авторов

  • Павел Геннадьевич Поцейко, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

    аспирант кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики. Научный руководитель – Е. А. Ровба

  • Евгений Алексеевич Ровба, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

    доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

  • Константин Анатольевич Смотрицкий, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

    кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Библиографические ссылки

  1. Gonchar AA. On the speed of rational approximation of some analytic functions. Matematicheskii sbornik. 1978;105(2):147–163. Russian.
  2. Ganelius Т. Orthogonal polynomials and rational approximation of holomorphic functions. In: Erdős P, Alpár L, Halász G, Sárközy A, editors. Studies in Pure Mathematics. Basel: Birkhäuser; 1978. p. 237–243. DOI: 10.1007/978-3-0348-5438-2_22.
  3. Andersson JE. Best rational approximation to Markov functions. Journal of Approximation Theory. 1994;76(2):219–232. DOI: 10.1006/jath.1994.1015.
  4. Pekarskii AA. Best uniform rational approximations to Markov functions. Algebra i analiz. 1995;7(2):121–132. Russian.
  5. Braess D. Rational approximation of Stieltjes functions by the Caratheodory – Fejer method. Constructive Approximation. 1987;3(1):43–50. DOI: 10.1007/BF01890552.
  6. Baratchart L, Stahl H, Wielonsky F. Asymptotic error estimates for L2 best rational approximants to Markov functions. Journal of Approximation Theory. 2001;108(1):53–96. DOI: 10.1006/jath.2000.3515.
  7. Prokhorov VA. On rational approximation of Markov functions on finite sets. Journal of Approximation Theory. 2015;191 Special number:94–117. DOI: 10.1016/j.jat.2014.10.006.
  8. Vyacheslavov NS, Mochalina EP. Rational approximations of functions of Markov – Stieltjes type in Hardy spaces H p, 0 < p ≤ ∞. Moscow University Mathematics Bulletin. 2008;63(4):125–134. DOI: 10.3103/S0027132208040013.
  9. Pekarskii AA, Rovba EA. Uniform approximations of Stieltjes functions by orthogonal projection on the set of rational functions. Matematicheskie zametki. 1999;65(3):362–368. Russian. DOI: 10.1007/BF02675071.
  10. Takenaka S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations. Japanese Journal of Mathematics. 1925;2:129–145. DOI: 10.4099/jjm1924.2.0_129.
  11. Malmquist F. Sur la détermination d’une classe de fonctions analytiques par leurs valeurs dans un ensemble donné de points. In: Comptes Rendus du Sixtiéme Congrés des mathématiciens scandinaves. Copenhagen: [publisher unknown]; 1926. p. 253–259.
  12. Dzhrbashyan MM, Kitbalyan AA. On a generalization of Chebyshev polynomials. Doklady Akademii nauk Armyanskoi SSR. 1964;38(5):263–270. Russian.
  13. Lungu KN. On best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Matematicheskii sbornik. 1971;86(2):314–324. Russian.
  14. Lungu KN. On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles. Sibirskii matematicheskii zhurnal. 1984;25(2):151–160. Russian.
  15. Rovba EA, Mikulich EG. Constants in rational approximation of Markov – Stieltjes functions with fixed number of poles. Vesnik Grodzenskaga dzjarzhawnaga wniversitjeta imja Janki Kupaly. Seryja 2. Matjematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichalʼnaja tjehnika i kiravanne. 2013;1:12–20.
  16. Evgrafov MA. Asimptoticheskie otsenki i tselye funktsii [Asymptotic estimates and entire functions]. Moscow: Nauka; 1979. 320 p.
  17. Fedoryuk MV. Asimptotika: integraly i ryady [Asymptotics: integrals and series]. Moscow: Nauka; 1987. 544 p. Russian.
  18. Patseika PG, Rouba YA. Fejer means of rational Fourier – Chebyshev series and approximation of function x s. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2019;3:18–34. Russian. DOI: 10.33581/2520-6508-2019-3-18-34.
  19. Markov AA. Izbrannye trudy [Selected papers]. Moscow: Gostekhizdat; 1948. 412 p. Russian.
  20. Suetin PK. Klassicheskie ortogonal’nye mnogochleny [Classical orthogonal polynomials]. Moscow: Fizmatlit; 2005. 480 p. Russian.
  21. Dzhrbashyan MM. [On the theory of Fourier series in terms of rational functions]. Izvestiya AN ASSR. Seriya fiziko­matematicheskikh nauk. 1956;9(7):3–28. Russian.
  22. Rovba EA. [On a direct method in a rational approximation]. Doklady AN BSSR. 1979;23(11):968–971. Russian.
  23. Rovba EA, Mikulich EG. Constants in the approximation of x using the rational interpolation processes. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus. 2009;53(6):11–15. Russian.
  24. Mikulich EG. [Exact estimates of uniform approximations of function sinx by partial sums of Fourier series by rational functions]. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika. 2011;1:84–90. Russian.
  25. Bernstein SN. Sur la valeur asymptotique de la meilleure approximation des fonctions analytiques, admettant des singularités donnése. Bulletin de l’Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux­Arts de Belgique. 1913;2:76–90.
  26. Bernshtein SN. Ekstremal’nye svoistva polinomov i nailuchshee priblizhenie nepreryvnykh funktsii odnoi veshchestvennoi peremennoi. Chast’ 1 [Extremal properties of polynomials and the best approximation of continuous functions of one real variable. Part 1]. Moscow: Glavnaya redaktsiya obshchetekhnicheskoi literatury; 1937. 200 p. Russian.
  27. Rovba EA, Potseiko PG. [Approximation of a function x s on a segment [−1, 1] by partial sums of the rational Fourier – Chebyshev series]. Vesnik Grodzenskaga dzjarzhawnaga wniversitjeta imja Janki Kupaly. Seryja 2. Matjematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichalʼnaja tjehnika i kiravanne. 2019;9(3):16–28. Russian.
  28. Rouba Y, Patseika P, Smatrytski K. On a system of rational Chebyshev – Markov fractions. Analysis Mathematica. 2018;44(1):115–140. DOI: 10.1007/s10476-018-0110-7.
  29. Rovba EA. An approximation of sinx by rational Fourier series. Matematicheskie zametki. 1989;46(2):52–59. Russian. DOI: 10.1007/BF01158146.

Загрузки

Опубликован

2020-07-30

Выпуск

№ 2 (2020): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Раздел

Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Лицензия

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).

Как цитировать

[1]
Поцейко, П.Г. и др. 2020. Об одном рациональном интегральном операторе типа Фурье – Чебышёва и аппроксимации функций Маркова. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2 (июл. 2020), 6–27. DOI:https://doi.org/10.33581/2520-6508-2020-2-6-27.