Точки Лебега для функций из обобщенных классов Соболева Mpa(X) в критическом случае

Авторы

  • Сергей Александрович Бондарев Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Ключевые слова:

анализ на метрических пространствах с мерой, пространства Соболева, тонкие свойства  функций, точки Лебега

Аннотация

Классическая теорема Лебега утверждает, что для суммируемой функции почти любая точка (за исключением множества нулевой меры) является ее точкой Лебега. Множество точек, не являющихся точками Лебега, называют  исключительным. Для более регулярных функций (например, принадлежащих определенному функциональному  пространству) можно оценивать «размер» исключительного множества с помощью более тонких, чем мера, характеристик. В работе исследуются свойства точек Лебега для функций из классов Соболева на произвольных метрических пространствах в критическом случае γ = α p, где γ – число, играющее роль размерности пространства,  α, p –показатели гладкости и суммируемости соответственно. Получены оценки на «размер» исключительного  множества в терминах емкостей и размерности Хаусдорфа, в частности показано, что исключительное множество  имеет нулевую емкость и его размерность Хаусдорфа равна нулю. Доказана экспоненциальная скорость сходимости для точек Лебега. В докритическом случае γ > αp похожие результаты известны.

Биография автора

  • Сергей Александрович Бондарев, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

    аспирант кафедры теории функций механико-математического факультета. Научный руководитель – доктор физико-математических наук,  профессор В. Г. Кротов

Библиографические ссылки

  1. Stein E. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton: Princeton University Press; 1970. 287 p. Russian edition: Stein E. Singulyarnye integraly i differentsial’nye svoistva funktsii. Moscow: Mir; 1973. 342 p.
  2. Federer H, Ziemer W. The Lebesgue sets of a function whose distribution derivatives are p­th power summable. Indiana University Mathematics Journal. 1973;22(2):139 –158. DOI: 10.1512/iumj.1973.22.22013.
  3. Bagby T, Ziemer WP. Pointwise differentiability and absolute continuity. Transactions of the American Mathematical Society. 1974;191:129 –148.
  4. Calderón CP, Fabes EB, Riviere NM. Maximal smoothing operators. Indiana University Mathematics Journal. 1974;23: 889 – 898. DOI: 10.1512/iumj.1974.23.23073.
  5. Meyers NG. Taylor expansion of Bessel potentials. Indiana University Mathematics Journal. 1974;23:1043–1049. DOI: 10.1512/iumj.1974.23.23085.
  6. Hajłasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric space. Potential Analysis. 1996;5(4):403– 415. DOI: 10.1007/BF00275475.
  7. Hajłasz P, Kinnunen J. Hölder quasicontinuity of Sobolev functions on metric spaces. Revista Matemática Iberoamericana. 1998;14(3):601– 622. DOI: 10.4171/RMI/246.
  8. Kinnunen J, Latvala V. Lebesgue points for Sobolev functions on metric spaces. Revista Matemática Iberoamericana. 2002; 18(3):685–700. DOI: 10.4171/RMI/332.
  9. Prokhorovich MA. [Capacities and Lebesgue points for fractional Hajłasz – Sobolev classes on metric measure spaces]. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series. 2006;1:19 –23. Russian.
  10. Prokhorovich MA. [Hausdorff measures and Lebesgue points for Sobolev classes, a > 0, on spaces of homogeneous type]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 2009;85(4):616 – 621. DOI: 10.4213/mzm6642. Russian.
  11. Bondarev SA, Krotov VG. Fine properties of Functions from Hajłasz – Sobolev classes M p a, p > 0. I. Lebesgue points. Journal of Contemporary Mathematical Analysis. 2016;51(6):282–295. DOI: 10.3103/S1068362316060029.
  12. Bondarev SA, Krotov VG. Fine properties of Functions from Hajłasz – Sobolev classes M p a, p > 0. II. Lusin’s approximation. Journal of Contemporary Mathematical Analysis. 2017;52(1):30 –37. DOI: 10.3103/S1068362317010046.
  13. Yang D. New characterization of Hajłasz – Sobolev spaces on metric spaces. Science in China. Series A: Mathematics. 2003; 46(5):675– 689. DOI: 10.1360/02ys0343.
  14. Krotov VG, Porabkovich AI. Estimates of Lp­oscillations of functions for p > 0. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes]. 2015;97(3):407– 420. DOI: 10.4213/mzm10600. Russian.
  15. Kinnunen J, Martio O. The Sobolev capacity on metric spaces. Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica. 1996; 21:367–382.
  16. Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. Berlin: Springer­Verlag; 2001. 141 p.
  17. Porabkovich AI. [Self­improvement of Lp­Poincare inequality for p > 0]. Chebyshevskii sbornik. 2016;17(1­57):187–200. Russian.

Загрузки

Опубликован

2019-01-19

Выпуск

№ 3 (2018): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Раздел

Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Лицензия

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).

Как цитировать

[1]
Бондарев, С.А. 2019. Точки Лебега для функций из обобщенных классов Соболева Mpa(X) в критическом случае. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 3 (янв. 2019), 4–11.