Об изохронах грубого фокуса

Авторы

  • Александр Евгеньевич Руденок Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь
  • Михаил Николаевич Василевич Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Ключевые слова:

центр, негрубый фокус, грубый фокус, изохронность, изохроны, нормальная форма Пуанкаре – Дюлака, система с квадратичными нелинейностями

Аннотация

Проводится анализ методов исследования изохронности автономных систем на плоскости для различных типов особых точек: центра, негрубого фокуса, грубого фокуса. Объясняется, в чем состоит сложность при определении негрубого изохронного фокуса. Приводятся примеры систем в виде нормальной формы Пуанкаре – Дюлака, которые показывают, что требование быть изохронной накладывает на систему с негрубым фокусом слабые ограничения. Доказывается теорема о виде нормализующей замены сильно изохронного грубого фокуса. Находятся изохроны сильно изохронного грубого фокуса системы с квадратичными нелинейностями. Строятся фазовые портреты полученных изохронных фокусов и их изохрон.

Биографии авторов

  • Александр Евгеньевич Руденок, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

    кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа механико-математического факультета

  • Михаил Николаевич Василевич, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

    кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры дифференциальных уравнений и системного анализа механико-математического факультета

Библиографические ссылки

  1. Куклес ИС, Пискунов НС. Об изохронности колебаний для консервативных и неконсервативных систем. Доклады Академии наук СССР. 1937;17(9):467–470.
  2. Руденок АЕ. Сильная изохронность центра. О периодах предельных циклов системы Льенара. Дифференциальные уравнения. 1975;11(5):811–819.
  3. Algaba A, Reyes M. Characterizing isochronous points and computing isochronous sections. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2009;355(2):564–576. DOI: 10.1016/j.jmaa.2009.02.007.
  4. Huygens Ch. The pendulum clock, or Geometrical demonstrations concerning the motion of pendula as applied to clocks. Ames: Iowa State University Press; 1986. 182 p.
  5. Chen X, Romanovski VG. Linearizability conditions of time-reversible cubic systems. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2010;362(2):438–449. DOI: 10.1016/j.jmaa.2009.09.013.
  6. Giné J. Isochronous foci for analytic differential systems. International Journal of Bifurcation Chaos. 2003;13(6):1617–1623. DOI: 10.1142/S0218127403007400.
  7. Giné J, Grau M. Characterization of isochronous foci for planar analytic differential systems. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A, Mathematics. 2005;135(5):985–998. DOI: 10.1017/S0308210500004236.
  8. Ладис НН. Коммутирующие векторные поля и изохронность. Вестник Белорусского государственного университета имени В. И. Ленина. Серия 1, Математика. Физика. Механика. 1976;1:21–24.
  9. Villarini M. Regularity properties of the period function near a center of a planar vector field. Nonlinear Analisys. 1992;19(8):787–803.
  10. Sabatini M. Characterizing isochronous centers by Lie brackets. Differential Equations and Dynamical Systems. 1997;5(1):91–99.
  11. Sabatini M. Non-periodic isochronous oscillations in plane differential systems. Annali di matematica pura ed applicata. 2003;182(4):487–501. DOI: 10.1007/s10231-003-0078-0.
  12. Руденок АЕ. Условия изохронности центра и фокуса в полярных координатах. Дифференциальные уравнения. 2008;44(10):1360–1372. EDN: JSJZKX.
  13. Амелькин ВВ. Об изохронности в случаях центра и негрубого фокуса. Дифференциальные уравнения. 1982;18(6):1073–1075.
  14. Руденок АЕ. Сильная изохронность центра и фокуса системы с полиномами третьей степени. Весці Нацыянальнай акадэміі навук Беларусі. Серыя фізіка-матэматычных навук. 2008;2:4–12.
  15. Руденок АЕ. Cильная изохронность центра и фокуса систем с однородными нелинейностями. Дифференциальные уравнения. 2009;45(2):154–161. EDN: JVTWDZ.
  16. Руденок АЕ. Изохронность обратимых систем с однородными нелинейностями 4-й степени. Вестник БГУ. Серия 1, Физика. Математика. Информатика. 2010;2:147–150. EDN: SJFVCT.
  17. Руденок АЕ. Изохронные центры систем с однородными нелинейностями. Вестник БГУ. Серия 1, Физика. Математика. Информатика. 2013;2:90–96. EDN: SNWINZ.
  18. Руденок АЕ. О сильной изохронности грубого фокуса. В: Амелькин ВВ, редактор. Материалы XXI Международной научной конференции по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения – 2023); 23–27 мая 2023 г.; Могилёв, Беларусь. Часть 1. Могилёв: Белорусско-Российский университет; 2023. с. 92–94. EDN: MZROYU.
  19. Руденок АЕ, Василевич МН. О сильной изохронности грубого фокуса. В: Бусел ТС, составитель. Материалы XIV Белорусской математической конференции; 28 октября – 1 ноября 2024 г.; Минск, Беларусь. Часть 2. Минск: Беларуская навука; 2024. с. 70–71.
  20. Амелькин ВВ, Лукашевич НА, Садовский AП. Нелинейные колебания в системах второго порядка. Минск: БГУ; 1982. 206 с.
  21. Ван Д, Ли Ч, Чоу ШН. Нормальные формы и бифуркации векторных полей на плоскости. Ильяшенко ЮС, редактор. Москва: Московский центр непрерывного математического образования; 2005. 416 с.

Загрузки

Опубликован

2025-10-13

Выпуск

№ 2 (2025): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Раздел

Дифференциальные уравнения и оптимальное управление

Лицензия

Copyright (c) 2025 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).

Как цитировать

[1]
Руденок, А.Е. и Василевич, М.Н. 2025. Об изохронах грубого фокуса. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 2 (окт. 2025), 16–29. DOI:https://doi.org/10.33581/2520-6508-2025-2-16-29.