Существование многочленов с заданными корнями над некоммутативными кольцами

Авторы

  • Алина Геннадьевна Гутор Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Ключевые слова:

кольцо, кольцо с делением, многочлен, кольцо квадратных матриц
Поддерживающие организации
Автор выражает признательность кандидату физико-математических наук, доценту С. В. Тихонову за интересные идеи и полезные замечания.

Аннотация

Рассмотрен вопрос существования многочленов с заданными корнями над ассоциативными некоммутативными кольцами. Показано, что для произвольных n элементов ассоциативного кольца с делением найдется многочлен степени n, корнями которого они являются. Определены достаточные условия существования такого многочлена для элементов произвольного (не обязательно с делением) ассоциативного кольца с единицей. Для многочленов, определенных над кольцом квадратных матриц над полем, получен критерий существования многочлена второй степени с заданными корнями, а также приведены примеры построения многочленов с заданными корнями.

Биография автора

  • Алина Геннадьевна Гутор, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

    старший преподаватель кафедры интеллектуальных методов моделирования механико-математического факультета

Библиографические ссылки

  1. Lam TY. A first course in noncommutative rings. 2nd edition. New York: Springer-Verlag; 2001. XIX, 388 p. (Axler S, Gehring FW, Ribet KA, editors. Graduate texts in mathematics; volume 131). DOI: 10.1007/978-1-4419-8616-0.
  2. Huang L, So W. Quadratic formulas for quaternions. Applied Mathematics Letters. 2002;15(5):533–540. DOI: 10.1016/S0893-9659(02)80003-9.
  3. Abrate M. Quadratic formulas for generalized quaternions. Journal of Algebra and Its Applications. 2009;8(3):289–306. DOI: 10.1142/S0219498809003308.
  4. Chapman A. Quaternion quadratic equations in characteristic 2. Journal of Algebra and Its Applications. 2015;14(3):1550033. DOI: 10.1142/S0219498815500334.
  5. Serôdio R, Pereira E, Vitória J. Computing the zeros of quaternion polynomials. Computers and Mathematics with Applications. 2001;42(8–9):1229–1237. DOI: 10.1016/S0898-1221(01)00235-8.
  6. Chapman A, Machen C. Standard polynomial equations over division algebras. Advances in Applied Clifford Algebras. 2017;27(2):1065–1072. DOI: 10.1007/s00006-016-0740-4.
  7. Falcão MI, Miranda F, Severino R, Soares MJ. Mathematica tools for quaternionic polynomials. In: Gervasi O, Murgante B, Misra S, Borruso G, Torre CM, Rocha AMAC, et al., editors. Computational science and its applications – ICCSA 2017. Proceedings of the 17 th International conference; 2017 July 3–6; Trieste, Italy. Part 2. Cham: Springer; 2017. p. 394–408 (Lecture notes in computer science; volume 10405). DOI: 10.1007/978-3-319-62395-5_27.
  8. Janovská D, Opfer G. A note on the computation of all zeros of simple quaternionic polynomials. SIAM Journal on Numerical Analysis. 2010;48(1):244–256. DOI: 10.1137/090748871.
  9. Goutor AG, Tikhonov SV. Roots of polynomials over division rings. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus. 2024;68(5):359–364. DOI: 10.29235/1561-8323-2024-68-5-359-364.
  10. Wilson RL. Polynomial equations over matrices [Internet]. Piscataway: Rutgers University; [cited 2024 November 12]. 20 p. Available from: https://sites.math.rutgers.edu/~rwilson/polynomial_equations.pdf.
  11. Bray U, Whaples G. Polynomials with coefficients from a division ring. Canadian Journal Mathematics. 1983;35(3):509–515. DOI: 10.4153/CJM-1983-028-1.
  12. Beck B. Sur les équations polynomiales dans les quaternions. L’Enseignement mathématique. 2 e Série. 1979;25(3–4):193–201. DOI: 10.5169/seals-50378.

Загрузки

Опубликован

2025-05-08

Выпуск

№ 1 (2025): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Раздел

Математическая логика, алгебра и теория чисел

Лицензия

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).

Как цитировать

[1]
Гутор, А.Г. 2025. Существование многочленов с заданными корнями над некоммутативными кольцами. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика. 1 (май 2025), 6–13.