Об инфимуме проксимальных топологий гиперпространства

Аннотация

Изучаются свойства топологии ${\tau _{\delta \left( {\inf } \right)}},$ являющейся инфимумом семейства ${\mathcal{T}_\delta }$ всех ρ-проксимальных топологий ${\tau _{\delta \left( \rho  \right)}}$ на гиперпространстве метризуемого топологического пространства. Как основной результат находится необходимое и достаточное условие совпадения $\inf {\mathcal{T}_\delta } = {\tau _{\delta \left( \rho  \right)}}$ (т. е. условие достижения инфимума). Кроме того, исследуется связь топологии ${\tau _{\delta \left( {\inf } \right)}}$ с инфимумом семейства ${\mathcal{T}_W}$ всех топологий Вайсмана, с инфимумом семейства ${\mathcal{T}_H}$ всех топологий, порожденных метриками Хаусдорфа, а также с топологией Фелла. Во второй части статьи рассматриваются непрерывное отображение $X\xrightarrow{f}Y$ и его продолжение ${\exp _{\delta \left( {\inf } \right)}}X\xrightarrow{{\overline f }}{\exp _{\delta \left( {\inf } \right)}}Y$ на гиперпространства $\exp X$, $\exp Y$, снабженные топологией ${\tau _{\delta \left( {\inf } \right)}},$ где $\overline f (F) = {\left[ {f(F)} \right]_Y}$  – оператор замыкания в пространстве Y). Для отображения $\overline f $ получено достаточное условие непрерывности, которое является также и необходимым условием, если Y – локально компактное пространство со счетной базой.