Об уравнениях, содержащих производную дельта-функции

Аннотация

Выражение u′′ + aδ′u, содержащее в качестве коэффициента производную дельта-функции, является формальным и не задает оператор в пространстве L₂(R), так как произведение δ′u не определено. В связи с этим рассматривается семейство операторов, аппроксимирующее это формальное выражение вида (L(ε, a, φ)u)(x) = u′′(x) + a(ε) ⋅ (∫Ψ_ε(y)u(y)dy ⋅ φ_ε(x) + ∫φ_ε(y)u(y)dy ⋅ Ψ_ε(x), где φ ∈ D(R); φ(x) ∈ R; ∫φ(x)dx = 1; φ_ε(x) = ¹/_εφ(x/ε); коэффициент a(ε) принимает вещественные ненулевые значения. Цель настоящей работы - нахождение предела этого семейства операторов в смысле резольвентной сходимости. Получены, в зависимости от поведения коэффициента a(ε) и свойств функции φ, пять различных видов пределов резольвент этого семейства операторов, поэтому формальному выражению u′′ + aδ′u нельзя единственным образом поставить в соответствие оператор в L₂(R). Это является принципиальным отличием от случая выражения u′′ + aδu, для которого предел резольвент не зависит от выбора аппроксимирующего семейства.