О начально-краевой задаче для нелокального параболического уравнения с нелокальным граничным условием

Аннотация

Рассмотрено нелинейное нелокальное параболическое уравнение u_t = Δu + a(x,t)u_r∫_Ωu^p(y,t)dy - b(x,t)u^q для (x,t) ∈ Ω × (0,+∞) с нелинейным нелокальным граничным условием u(x,t)|∂_{Ω × (0,+∞)} = ∫_Ωk(x,y,t)u^l(y,t)dy и начальными данными u(x,0) = u₀(x), x ∈ Ω, где r, p, q, l - положительные постоянные; Ω - ограниченная область в пространстве Rⁿ с гладкой границей ∂Ω. Неотрицательные функции a(x,t) и b(x,t) определены при x ∈ Ω, t ≥ 0 и локально непрерывны по Гёльдеру, неотрицательная непрерывная функция k(x,y,t) определена при x ∈ ∂Ω, y ∈ Ω, t ≥ 0, неотрицательная непрерывная функция u₀(x) - при x ∈ Ω и удовлетворяет условию u₀(x) = ∫_Ωk(x,y,0)u₀^t(y)dy при x ∈ ∂Ω. Изучены классические решения. Для доказательства существования локального максимального решения рассмотрена регуляризация исходной задачи. Установлены существование локально го решения регуляризованной задачи и сходимость ее решений к локальному максимальному решению исходной задачи. Введены понятия верхнего и нижнего решений. Показано, что верхнее решение не меньше нижнего. Для нетривиальных начальных функций при выполнении определенных условий на данные задачи установлена положительность решений. Как следствие положительности решений и принципа сравнения решений доказана теорема единственности решения.