Суммы Фейера рационального ряда Фурье – Чебышева и аппроксимации функции |x|s

  • Павел Геннадьевич Поцейко Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0001-7835-0500
  • Евгений Алексеевич Ровба Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0002-1265-1965
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-18-34

Аннотация

Изучаются аппроксимативные свойства сумм Фейера рядов Фурье по системе алгебраических дробей Чебышева – Маркова и приближения суммами Фейера функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [−1,1] . Рассматривается одна ортогональная система алгебраических дробей Чебышева – Маркова и вводятся суммы Фейера соответствующих рациональных рядов Фурье – Чебышева. Устанавливаются порядок приближений последовательностями сумм Фейера непрерывных на отрезке функций в терминах модуля непрерывности и достаточные условия на параметр, обеспечивающие равномерную сходимость. Находятся оценки поточечных и равномерных приближений функции |x|s, 0 < s < 2, на отрезке [−1,1], асимптотические выражения при n→∞ мажоранты равномерных приближений, а также оптимальное значение параметра, при котором обеспечивается наибольшая скорость приближений исследуемой функции суммами Фейера рациональных рядов Фурье – Чебышева.

Биографии авторов

Павел Геннадьевич Поцейко, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

аспирант кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики. Научный руководитель – Е. А. Ровба

Евгений Алексеевич Ровба , Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Э. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Литература

  1. Fejér L. Untersuchungen über Fouriersche Reihen. Mathematische Annalen. 1904;58(1–2):51–69. DOI: 10.1007/BF01447779.
  2. Lebesgue H. Sur les intégrales singulières. Annales de la faculté des sciences de Toulouse. 3e série. 1909;1:25–117.
  3. Bernstein S. Sur l’ordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des polynomes de degré donné. Bruxelles: Hayez, imprimeur des Academies Royales; 1912. 104 p.
  4. Nikol’skii SM. [On the asymptotic behavior of the remainder under approximation of functions satisfying the Lipschitz condition, by fejér sums]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya. 1940;4(6):501–508. Russian.
  5. Zygmund A. On the degree of approximation of functions by Fejer means. Bulletin of the American Mathematical Society. 1945;51(4):274 –278.
  6. Novikov OA, Rovenska OG. Approximation of classes of Poisson integrals by Fejer sums. Komp’yuternye issledovaniya i modelirovanie. 2015;7(4):813–819. Russian. DOI: 10.20537/2076-7633-2015-7-4-813-819.
  7. Efimov AV. [On the approximation of some classes of continuous functions by Fourier sums and Fejer sums]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya. 1958;22(1):81–116. Russian.
  8. Lebed’ GK, Avdeenko AA. [On the approximation of periodic functions by Fejér sums]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya. 1971;35(1):83–92. Russian.
  9. Dzhrbashyan MM. [On the theory of Fourier series on rational functions]. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoi SSR. Seriya fiziko-matematicheskaya. 1956;9(7):1–27. Russian.
  10. Rusak VN. Ratsional’nye funktsii kak apparat priblizheniya [Rational functions as an apparatus of approximation]. Minsk: Belorusskii gosudarstvennyi universitet im. V. I. Lenina; 1979. 179 p. Russian.
  11. Petrushev PP, Popov VA. Rational approximation of real functions. Cambridge: Cambridge University Press; 1987. 386 p.
  12. Rusak VN. [Sharp order estimates for best rational approximations in classes of functions representable as convolutions]. Doklady Akademii nauk SSSR. 1984;279(4):810 – 812. Russian.
  13. Rusak VN. [Exact order estimates for best rational approximations in classes of functions representable as convolution]. Matematicheskii sbornik. 1985;128(4):492–515. Russian.
  14. Pekarskii AA. [Chebyshev rational approximations in a circle, on a circle, and on a segment]. Matematicheskii sbornik. 1987; 133(1):86 –102. Russian.
  15. Smotritskii KA. [Approximation by rational operators of Valle Poussin on a segment]. Trudy Instituta matematiki NAN Belarusi. 2001;9:136 –139. Russian.
  16. Rovba EA. Rational integral operators on a segment. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika. 1996;1:34 –39. Russian.
  17. Smotrytski KA. On the approximation of the convex functions by rational integral operators on the segment. Vestnik BGU. Seriya 1. Fizika. Matematika. Informatika. 2005;3:64 –70. Russian.
  18. Rovba EA. [Approximation of functions differentiable in the Riemann – Liouville sense by rational operators]. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus. 1996;40(6):18–22. Russian.
  19. Rovba EA. [On the approximation by rational Fejer and Jackson operators of bounded variation functions]. Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus. 1998;42(4):13–17. Russian.
  20. Bernstein S. Sur la meilleure approximation de x par des polynomes de degres donnes. Acta Mathematica. 1914;37:1–57. DOI: 10.1007/BF02401828.
  21. Newman DJ. Rational approximation to x. Michigan Mathematical Journal. 1964;11(1):11–14. DOI: 10.1307/mmj/1028999029.
  22. Bulanov AP. [Asymptotics for least deviation of x by rational functions]. Matematicheskii sbornik. 1968;76(118-2):288–303. Russian.
  23. Vyacheslavov NS. [On the approximation of the function x by rational functions]. Matematicheskie zametki. 1974;16(1): 163–171. Russian.
  24. Shtal’ G. [Best uniform rational approximation of x on −[] 11 ,. Matematicheskii sbornik. 1992;183(8):85–118. Russian.
  25. Bernstein SN. [Sur la meilleure approximation de x p par des polynomes de degres tres eleves]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya. 1938;2(2):169 –190. Russian.
  26. Freud G, Szabados J. Rational approximation to x a. Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. 1967;18(3– 4): 393–399. DOI: 10.1007/BF02280298.
  27. Gonchar AA. [On the rate of rational approximation of continuous functions with characteristic features]. Matematicheskii sbor nik. 1967;73(4):630 – 638. Russian.
  28. Vyacheslavov N. [On the approximation of xa by rational functions]. Izvestiya AN SSSR. Seriya matematicheskaya. 1980;44(1): 92–109. Russian.
  29. Stahl HR. Best uniform rational approximation of x a on [0, 1]. Bulletin of the American Mathematical Society. 1993;28(1):116 –122.
  30. Revers M. On the asymptotics of polynomial interpolation to x a at the Chebyshev nodes. Journal of Approximation Theory. 2013;65:70 – 82. DOI: 10.1016/j.jat.2012.09.005.
  31. Raitsin RA. [Asymptotic properties of uniform approximations of functions with algebraic features by partial sums of the Fourier – Chebyshev series]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika. 1980;3:45– 49. Russian.
  32. Rouba Y, Patseika P, Smatrytski K. On one system of rational Chebyshev – Markov fractions. Analysis Mathematica. 2018; 44(1):115–140. DOI: 10.1007/s10476-018-0110-7.
  33. Natanson IP. Konstruktivnaya teoriya funktsii [Constructive theory of functions]. Moscow: GITTL; 1949. 684 p. Russian.
  34. Timan AF. Teoriya priblizhenii funktsii deistvitel’nogo peremennogo [Theory of approximations of functions of a real variable]. Moscow: GIFML; 1960. 624 p. Russian.
  35. Titchmarsh E. Teoriya funktsii [Theory of functions]. Moscow: Nauka; 1980. 463 p. Russian.
  36. Rovba EA, Potseiko PG. [Approximation of the function x s on the segment [−1,1] by partial sums of the rational Fourier – Chebyshev series]. Vesnik Grodzenskaga dzjarzhawnaga wniversitjeta imja Janki Kupaly. Seryja 2. Matjematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichal’naja tjehnika i kiravanne. 2019;9(3):16 –28. Russian.
  37. Sidorov YuV, Fedoryuk MV, Shabunin MI. Lektsii po teorii funktsii kompleksnogo peremennogo [Lectures on the theory of functions of a complex variable]. Moscow: Nauka; 1989. 480 p. Russian.
  38. Evgrafov MA. Asimptoticheskie otsenki i tselye funktsii [Asymptotic estimates and entire functions]. Moscow: Nauka; 1979. 320 p. Russian.
  39. Fedoryuk MV. Asimptotika. Integraly i ryady [Asymptotics. Integrals and series]. Moscow: Nauka; 1987. 544 p. Russian.
  40. Copson ET. Asymptotic Expansions. Cambridge: Cambridge University Press; 1965. 124 p. (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics; no. 55).
Опубликован
2019-11-27
Ключевые слова: ряд Фурье – Чебышева, частичные суммы, суммы Фейера, модуль непрерывности, равномерная сходимость, асимптотические оценки, точные константы
Как цитировать
Поцейко, П. Г., & Ровба , Е. А. (2019). Суммы Фейера рационального ряда Фурье – Чебышева и аппроксимации функции |x|s. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 3, 18-34. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-3-18-34
Выпуск
№ 3 (2019): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Copyright (c) 2019 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).