Рациональная интерполяция функции |x|^α с узлами Чебышева – Маркова первого рода

  • Евгений Алексеевич Ровба Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь
  • Виктория Юрьевна Медведева Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2023-1-6-19

Аннотация

Рассмотрены приближения функции |x|^α, α > 0, интерполяционными рациональными функциями Лагранжа на отрезке [−1, 1]. В качестве узлов интерполирования выбраны нули рациональной функции Чебышева – Маркова первого рода. Получены интегральное представление остатка интерполирования и оценка сверху рассматриваемых равномерных приближений. Подробно изучены полиномиальный и общий рациональный случаи. В полиномиальном случае найдена асимптотическая оценка равномерных приближений. При приближении интерполяционными рациональными функциями Лагранжа с узлами Чебышева – Маркова первого рода получены верхние и нижние оценки. Эти оценки близки к оценке наилучших равномерных рациональных приближений анализируемой функции на отрезке [−1, 1].

Биографии авторов

Евгений Алексеевич Ровба, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Виктория Юрьевна Медведева, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

аспирантка кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики. Научный руководитель – Е. А. Ровба

Литература

  1. Bernstein SN. Sur la meilleure approximation de |x|ρ par des polynômes de degrés très élevés. Bulletin de l’Académie des Sciences de l’URSS. Classe des Sciences Mathématiques et Naturelles. 1938;2(2):169–190. Russian, French.
  2. Nikolsky SM. On the best approximation in the mean to the function |a – x|s by polynomials. Bulletin de l’Académie des Sciences de l’URSS. Série Mathématique. 1947;11(2):139–180. Russian.
  3. Raitsin RA. [On the best approximation in the mean by polynomials and entire functions of finite degree of functions having an algebraic singularity]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika. 1969;4:59–61. Russian.
  4. Carpenter AJ, Varga RS. Some numerical results on best uniform polynomial approximation of xα on [0, 1]. In: Gonchar AA, Saff EB, editors. Methods of approximation theory in complex analysis and mathematical physics; 1991 May 13–24; Leningrad, Russia. Berlin: Springer-Verlag; 1993. p. 192–222 (Lecture notes in mathematics; volume 1550). DOI: 10.1007/BFb0117488.
  5. Petrushev PP, Popov VA. Rational approximation of real functions. Cambridge: Cambridge University Press; 1987. X, 371 p. (Encyclopedia of mathematics and its applications; volume 28).
  6. Stahl H. [Best uniform rational approximation of |x| on [–1, 1]]. Matematicheskii sbornik. 1992;183(8):85–118. Russian.
  7. Stahl H. Best uniform rational approximation of xα on [0, 1]. Bulletin of the American Mathematical Society. 1993;28(1):116–122. DOI: 10.1090/S0273-0979-1993-00351-3.
  8. Andersson J-E. Rational approximation to functions like xα in integral norms. Analysis Mathematica. 1988;14(1):11–25. DOI: 10.1007/BF02350637.
  9. Pekarsky AA. [The best uniform rational approximations of Markov functions]. Algebra i analiz. 1995;7(2):121–132. Russian.
  10. Raitsin RA. [Asymptotic properties of uniform approximations of functions with algebraic singularities by partial sums of the Fourier – Chebyshev series]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika. 1980;3:45–49. Russian.
  11. Ganzburg MI. The Bernstein constant and polynomial interpolation at the Chebyshev nodes. Journal of Approximation Theory. 2002;119(2):193–213. DOI: 10.1006/jath.2002.3729.
  12. Revers M. On the asymptotics of polynomial interpolation to |x|α at the Chebyshev nodes. Journal of Approximation Theory. 2013;165:70–82. DOI: 10.1016/j.jat.2012.09.005.
  13. Rouba YA, Medvedeva VYu. Rational interpolation of the function |x|α by an extended system of Chebyshev – Markov nodes. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series. 2019;55(4):391–405. Russian. DOI: 0.29235/1561-2430-2019-55-4-391-405.
  14. Rusak VN. Ratsional’nye funktsii kak apparat priblizheniya [Rational functions as an approximation apparatus]. Minsk: Publishing House of the Belarusian State University; 1979. 176 p. Russian.
  15. Fikhtengol’ts GM. Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniya. Tom 2 [Course of differential and integral calculus. Volume 2]. Saint Petersburg: Lan’; 1997. 800 p. Russian.
  16. Pekarsky AA, Rouba YA. [Uniform approximations of Stieltjes functions via orthoprojection onto the set of rational functions]. Matematicheskie zametki. 1999;65(3):362–368. Russian.
  17. Kovalevskaya EV, Pekarsky AA. Construction of extreme Blaschke products. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2, Mathematics. Physics. Informatics, Computer Technology and its Control. 2017;7(1):6–14. Russian.
Опубликован
2023-03-16
Ключевые слова: рациональная дробь Чебышева – Маркова, рациональная интерполяция, функция со степенной особенностью
Поддерживающие организации Авторы выражают признательность профессору А. А. Пекарскому за полезное обсуждение результатов работы.
Как цитировать
Ровба, Е. А., & Медведева, В. Ю. (2023). Рациональная интерполяция функции |x|^α с узлами Чебышева – Маркова первого рода. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 1, 6-19. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2023-1-6-19
Выпуск
№ 1 (2023): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Copyright (c) 2023 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).