Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными

  • Василий Михайлович Волков Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь
  • Елена Владимировна Проконина Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-69-76

Аннотация

Рассмотрена проблема построения эффективных разностных схем и итерационных методов для решения задач анизотропной диффузии в области произвольной геометрии. Для упрощения постановки краевых условий Неймана использован метод фиктивных областей. На примере модельной двумерной задачи о распределении потенциала в кольцевом изолированном анизотропном проводнике проведен сравнительный анализ эффективности некоторых перспективных разностных схем и итерационных методов с точки зрения их сочетаемости с методом фиктивных областей. На основе численных экспериментов получены эмпирические оценки асимптотики роста количества итераций метода бисопряженных градиентов с переобусловливателями Фурье – Якоби и неполной LU-факторизации при уменьшении шага сетки и величины малого параметра, определяющего продолжение коэффициента проводимости в методе фиктивных областей. Показано, что для одной из рассмотренных схем переобусловливатель Фурье – Якоби является спектрально оптимальным и позволяет устранить асимптотическую зависимость скорости сходимости как от величины шага сетки, так и от значения малого параметра в методе фиктивных областей.

Биографии авторов

Василий Михайлович Волков, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

доктор физико-математических наук; профессор кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования механико-математического факультета

Елена Владимировна Проконина, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

старший преподаватель кафедры веб-технологий и компьютерного моделирования механико-математического факультета

Литература

  1. Konovalov AN. Fictitious domain method in filtration problems of a two-phase incompressible fluid, taking into account capillary forces. Chislennye metody mekhaniki sploshnoi sredy. 1972;3(5):52–68. Russian.
  2. Konovalov AN, Konuh GV, Tsurikov NV. About principles of building iterative processes in the fictitious domain method. In: Variatsionnye metody v zadachakh chislennogo analiza: sbornik nauchnykh trudov. Novosibirsk: Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences; 1986. p. 37–52. Russian.
  3. Konovalov АN. Zadachi fil’tratsii mnogofaznoi neszhimaemoi zhidkosti [Filtration problems of multi-phase incompressible fluid]. Novosibirsk: Nauka; 1988. Russian.
  4. Vabishevich PN, Gassiev RV, Pulatov PA. Computational realization of fictitious domain method for elliptic equations on the basis of changing-triangular method. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki. 1987;27(9):1381–1387. Russian.
  5. Vabishevich PN. Metod fiktivnykh oblastei v zadachakh matematicheskoi fiziki [Fictitious domain method in the problems of mathematical physics]. Moscow: URSS; 2016. Russian.
  6. Samarsky AA. Teoriya raznostnykh skhem [The theory of finite-difference schemes]. Moscow: Nauka; 1989. Russian.
  7. Turovets S, Volkov V, Zherdetsky A, Prakonina A, Malony AD. А 3D finite-difference BiCG iterative solver with the Fourier – Jacobi preconditioner for the anisotropic EIT/EEG forward problem. Computational and Mathematical Methods in Medicine. 2014;2014:12. DOI: 10.1155/2014/426902.
  8. Samarskii AA, Mazhukin VI, Matus PP, Shishkin GI. Monotone difference schemes for equations with mixed derivatives. Matematicheskoe modelirovanie. 2001;13(2):17–26. Russian.
  9. Rybak IV. Monotone and conservative difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives. Mathematical Modelling and Analysis. 2004;9(2):169 –178.
  10. Volkov VM, Prakonina AU. Finite-difference schemes and iterative methods for multidimensional elliptic equations with mixed derivatives. Vesci Nacyjanal’naj akadjemii navuk Belarusi. Seryja fizika­matjematychnyh navuk. 2018;54(4):454 – 459. Russian. DOI: 10.29235/1561-2430-2018-54-4-454-459.
  11. Barrett R, Berry M, Chan TF, Demmel J, Donato J, Dongarra J, et al. Templates for the solution of linear systems: building blocks for iterative methods. Philadelphia: SIAM; 1994. 143 p.
  12. Martynenko SI. Universal multigrid technology for the numerical solution of partial differential equations on structured grids. Vychislitel’nye metody i programmirovanie. 2000;1(1):83–102. Russian.
Опубликован
2019-04-08
Ключевые слова: разностные схемы, эллиптические уравнения, смешанные производные, итерационные методы, метод фиктивных областей
Как цитировать
Волков, В. М., & Проконина, Е. В. (2019). Итерационная реализация разностных схем в методе фиктивных областей для эллиптических задач со смешанными производными. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 1, 69-76. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-69-76
Выпуск
№ 1 (2019): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Вычислительная математика

Copyright (c) 2019 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).