Вложение класса Хайлаша – Соболева Mpα(X) в пространство непрерывных функций в критическом случае
Аннотация
Пусть (X, d, µ) – метрическое пространство с мерой, удовлетворяющей условию удвоения с показателем γ, т. е. для любых шаров B(x, R) и B(x, r), r < R, выполняется неравенство µ(B(x, R)) ≤ aµ (R/r)γµ(B(x, r)) для некоторых положительных постоянных γ и aµ. На такой общей структуре можно ввести пространство Хайлаша – Соболева Mpα(X), которое в евклидовом случае совпадает с классическим соболевским пространством при p > 1, α = 1. В статье обсуждается вложение функций из пространств Хайлаша – Соболева Mpα(X) в пространство непрерывных функций при p ≤ 1 в критическом случае γ = α p. Более точно, показано, что любая функция из класса Хайлаша – Соболева Mpα(X), 0 < p ≤ 1, α > 0, имеет непрерывного представителя в случае равномерно совершенного пространства (X, d, µ).
Литература
- Heinonen J. Nonsmooth calculus. Bulletin of the American mathematical society. 2007;44(2):163–232. DOI: 10.1090/s02730979-07-01140-8.
- Hajłasz P. Sobolev spaces on an arbitrary metric space. Potential Analysis. 1996;5(4):403–415. DOI: 10.1007/BF00275475.
- Yang D. New characterization of Hajłasz – Sobolev spaces on metric spaces. Science in China. Series A. Mathematics. 2003;46(5):675–689. DOI: 10.1360/02ys0343.
- Zhou X. Sobolev functions in the critical case are uniformly continuous in s-Ahlfors regular metric spaces when s ≤ 1. Proceedings of the American Mathematical Society. 2017;145:267–272. DOI: 10.1090/proc/13220.
- Bondarev SA, Krotov VG. Fine properties of functions from Hajłasz – Sobolev classes Mpα, p > 0. I. Lebesgue points. Journal of Contemporary Mathematical Analysis. 2016;51(6):282–295. DOI: 10.3103/S1068362316060029.
- Bondarev SA. Lebesgue points of functions from generalized Sobolev classes Mpα(X) in the critical case. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2018;3:4–11. Russian.
- Górka P, Słabuszewski A. A discontinuous Sobolev function exists. Proceedings of the American Mathematical Society. 2019;147(2):637–639. DOI: 10.1090/proc/14164.
- Stein E. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton: Princeton University Press; 1970. 287 p. Russian edition: Stein E. Singulyarnye integraly i differentsial’nye svoistva funktsii. Burenkov VI, editor. Moscow: Mir; 1973. 342 p.
- Heinonen J. Lectures on analysis on metric spaces. New York: Springer – Verlag; 2001. 141 p. (Universitext). DOI: 10.1007/9781-4613-0131-8.
Copyright (c) 2020 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:
- Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
- Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).
