Об аппроксимациях сопряженных функций и их производных на отрезке частичными суммами рядов Фурье – Чебышева

  • Павел Геннадьевич Поцейко Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0001-7835-0500
  • Евгений Алексеевич Ровба Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь
  • Константин Анатольевич Смотрицкий Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

Аннотация

Изучены аппроксимации сопряженных функций на отрезке [-1 1], с плотностью f є H (α)[–1, 1], α є (0, 1], cопряженными рядами Фурье – Чебышева. Установлены порядковые оценки приближений, зависящие от положения точки на отрезке. Отмечено, что приближения на концах отрезка имеют бóльшую скорость убывания в сравнении со всем отрезком. Введены классы функций, которые можно в некотором смысле ассоциировать с производной сопряженной функции на отрезке [ –1, 1], и изучены приближения функций из этих классов частичными суммами рядов Фурье – Чебышева. Найдено интегральное представление приближений. При плотности f є W1H (α)[–1, 1], α є (0, 1], устанавливаются порядковые оценки приближений, также зависящие от положения точки на отрезке. Рассмотрен случай, когда плотность f (t) = |t|s, s > 1. При этом получены интегральное представление приближений, оценки поточечных и равномерных приближений, асимптотическая оценка равномерных приближений. Отмечено, что порядки равномерных приближений изучаемой функции частичными суммами ряда Фурье – Чебышева и соответствующей ей сопряженной функции сопряженными суммами совпадают.

Биографии авторов

Павел Геннадьевич Поцейко, Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

кандидат физико-математических наук; доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Евгений Алексеевич Ровба, Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Константин Анатольевич Смотрицкий, Гродненский государственный университет им. Я. Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

кандидат физико-математических наук, доцент; доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Литература

  1. Gakhov FD. Kraevye zadachi [Boundary value problems]. Moscow: Gosudarstvennoe izdatel’stvo fiziko-matematicheskoi literatury; 1958. 545 p. Russian.
  2. Muskhelishvili NI. Singulyarnye integral’nye uravneniya [Singular integral equations]. 3rd edition. Moscow: Nauka; 1968. 600 p. Russian.
  3. Butzer PL, Stens RL. The operational properties of the Chebyshev transform. II. Fractional derivatives. In: Stechkin SB, Telyakovskii SA, editors. Teoriya priblizheniya funktsii. Trudy Mezhdunarodnoi konferentsii po teorii priblizheniya funktsii; 24–28 iyulya 1975 g.; Kaluga, Rossiya [Function approximation theory. Proceedings of the International conference on the theory of approximation of functions; 1975 July 24–28; Kaluga, Russia]. Moscow: Nauka; 1977. p. 49–61.
  4. Priwaloff J. Sur les fonctions conjuguées. Bulletin de la Société Mathématique de France. 1916;44:100–103. French. DOI: 10.24033/bsmf.965.
  5. Priwaloff J. Sur les séries trigonométriques сonjuguées. Matematicheskii sbornik. 1923;31(2):224–228. Russian.
  6. Kolmogoroff A. Sur les fonctions harmoniques conjuguées et les séries de Fourier. Fundamenta Mathematicae. 1925;7:24–29. French. DOI: 10.4064/fm-7-1-24-29.
  7. Riesz M. Les fonctions conjuguées et les series de Fourier. Comptes rendus de l’Academie des Sciences. 1924;178:1464–1467. French.
  8. Riesz M. Sur les fonctions conjuguées. Mathematische Zeitschrift. 1928;27:218–244. DOI: 10.1007/BF01171098. French.
  9. Nikol’skii SM. Approximations of periodic functions by trigonometrical polynomials. Trudy Matematicheskogo instituta imeni V. A. Steklova. 1945;15:3–76. Russian.
  10. Motornyi VP. Approximation of certain classes of singular integrals by algebraic polynomials. Ukrains’kyi matematychnyi zhurnal. 2001;53(3):331–345. Russian.
  11. Motornyi VP. Approximation of a class of singular integrals by algebraic polynomials with regard to the location of a point on an interval. Trudy Matematicheskogo instituta imeni V. A. Steklova. 2001;232:268–285. Russian.
  12. Misiuk VR, Pekarskii AA. Conjugate functions on a segment and relations for their best uniform polynomial approximations. Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series. 2015;2:37–40. Russian.
  13. Bari NK. On best approximation of two conjugate functions by trigonometric polynomials. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya matematicheskaya. 1955;19(5):285–302. Russian.
  14. Stechkin SB. On best approximation of conjugate functions by trigonometric polynomials. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya matematicheskaya. 1956;20(2):197–206. Russian.
  15. Nikolsky SM. On the best approximation of functions satisfying Lipschitz’s conditions by polynomials. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya matematicheskaya. 1946;10(4):295–322. Russian.
  16. Timan AF. Approximation of functions satisfying the Lipschitz condition by ordinary polynomials. Doklady Akademii nauk SSSR. 1951;77(6):969–972. Russian.
  17. Ganzburg IM. A generalization of some results obtained by S. M. Nikolsky and A. F. Timan. Doklady Akademii nauk SSSR. 1957;116(5):727–730. Russian.
  18. Rusetskii YuI. The approximation of functions continuous on an interval by Abel – Poisson sums. Sibirskii matematicheskii zhurnal. 1968;9(1):136–144. Russian.
  19. Ganzburg IM, Timan AF. Linear processes of approximation by algebraic polynomials to functions satisfying a Lipschitz condition. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya matematicheskaya. 1958;22(6):771–810. Russian.
  20. Rovba YA, Patseika PG. Approximations of conjugate functions by partial sums of conjugate Fourier series with respect to a certain system of Chebyshev – Markov algebraic fractions. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika. 2020;9:68–84. Russian.
  21. Stepanets AI. Approximation of periodic functions by Fourier sums. Trudy Matematicheskogo instituta imeni V. A. Steklova. 1987;180:202–204. Russian.
  22. Каlchuk IV, Stepaniuk TA, Grabova UZ. Approximation of differentiable functions by Poisson’s biharmonic integrals. Vesnik Brjesckaga universitjeta. Seryja 4, Matjematyka. Fizika. 2010;1:83–92. Russian.
  23. Stechkin SB. On best approximation of certain classes of periodic functions by trigonometric polynomials. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Seriya matematicheskaya. 1956;20(5):643–648. Russian.
  24. Dzyadyk VK. On best approximation in classes of periodic functions defined by integrals of a linear combination of absolutely monotonic kernels. Matematicheskie zametki. 1974;16(5):691–701. Russian.
  25. Zhigallo KM, Kharkevich YuІ. Approximation by biharmonious Poisson integrals of classes ( ) y b , of differential functions in the integral metric. Problemy teorii’ nablyzhennja ta sumizhni pytannja. Prac’ Instytutu matematyky NAN Ukrai’ny. 2004;1(1):144–170. Ukrainian.
  26. Kharkevich YuI, Stepanyuk TA. Approximation properties of Poisson integrals for the classes C H by a. Matematicheskie zametki. 2014;96(6):939–952. Russian.
  27. Besov OV. Estimate of the approximation of periodic functions by Fourier series. Matematicheskie zametki. 2006;79(5):784–787. Russian.
  28. Besov OV. Lektsii po matematicheskomu analizu [Lectures on mathematical analysis]. 4th edition. Moscow: Fizmatlit; 2020. 476 p. Russian.
  29. Evgrafov MA. Asimptoticheskie otsenki i tselye funktsii [Asymptotic estimates and entire functions]. Moscow: Nauka; 1979. 320 p. Russian.
  30. Fedoryuk MV. Asimptotika. Integraly i ryady [Asymptotics. Integrals and series]. Moscow: Nauka; 1987. 544 p. Russian.
  31. Potseiko PG. On conjugate Abel – Poisson means on a segment and their approximation properties. Vesnik Grodzenskaga dzjarzhawnaga wniversitjeta imja Janki Kupaly. Seryja 2, Matjematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichal’naja tjehnika i kiravanne. 2021;11(2): 15–29. Russian.
Опубликован
2024-07-24
Ключевые слова: сингулярный интеграл на отрезке, сопряженная функция, условие Липшица, ряд Фурье – Чебышева, равномерные оценки, асимптотические оценки
Поддерживающие организации Авторы выражают искреннюю благодарность профессору, доктору физико-математических наук А. Пекарскому за ряд ценных замечаний и советов, которые были учтены в окончательной редакции статьи.
Как цитировать
Поцейко, П. Г., Ровба, Е. А., & Смотрицкий, К. А. (2024). Об аппроксимациях сопряженных функций и их производных на отрезке частичными суммами рядов Фурье – Чебышева. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 2, 6-18. Доступно по https://journals.bsu.by/index.php/mathematics/article/view/5231
Выпуск
№ 2 (2024): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Copyright (c) 2024 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).