Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для нелинейного параболического уравнения с памятью

  • Александр Львович Гладков Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Аннотация

Рассмотрено нелинейное параболическое уравнение с памятью ut=Δu+aupt0uq(x,τ)dτbum для (x,t)Ω×(0,+) с нелинейным нелокальным граничным условием u(x,t)v|Ω×(0,+)=Ωk(x,y,t)ul(y,t)dy и начальными данными u(x,0)=u0(x),xΩ, где a,b,q,m,l - положительные постоянные; p0; Ω - ограниченная область в пространстве Rn с гладкой границей Ω; v - единичная внешняя нормаль к Ω. Неотрицательная непрерывная функция k(x,y,t) определена при xΩ,yˉΩ,t0, неотрицательная функция u0(x)C1(ˉΩ), при этом она удовлетворяет условию u0(x)v=Ωk(x,y,0)ul0(y)dy при xΩ. Рассмотрены классические решения. Установлено существование локального максимального решения исходной задачи. Введены понятия верхнего и нижнего решений. Показано, что при выполнении определенных условий верхнее решение не меньше нижнего решения. Найдены условия положительности решений. Как следствие положительности решений и принципа сравнения решений доказана теорема единственности решения.

Биография автора

Александр Львович Гладков, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой математической кибернетики механико-математического факультета

Литература

  1. Friedman A. Monotonic decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions. Quarterly of Applied Mathematics. 1986;44(3):401–407. DOI: 10.1090/qam/860893.
  2. Deng K. Comparison principle for some nonlocal problems. Quarterly of Applied Mathematics. 1992;50(3):517–522. DOI: 10.1090/qam/1178431.
  3. Souplet P. Blow-up in nonlocal reaction – diffusion equations. SIAM Journal of Mathematical Analysis. 1998;29(6):1301–1334. DOI: 10.1137/S0036141097318900.
  4. Cui Zhoujin, Yang Zuodong. Roles of weight functions to a nonlinear porous medium equation with nonlocal source and nonlocal boundary condition. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2008;342(1):559–570. DOI: 10.1016/j.jmaa.2007.11.055.
  5. Mu Chunlai, Liu Dengming, Zhou Shouming. Properties of positive solutions for a nonlocal reaction – diffusion equation with nonlocal nonlinear boundary condition. Journal of the Korean Mathematical Society. 2010;47(6):1317–1328. DOI: 10.4134/JKMS. 2010.47.6.1317.
  6. Gladkov A, Guedda M. Blow-up problem for semilinear heat equation with absorption and a nonlocal boundary condition. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2011;74(13):4573–4580. DOI: 10.1016/j.na.2011.04.027.
  7. Gladkov A, Guedda M. Semilinear heat equation with absorption and a nonlocal boundary condition. Applicable Analysis. 2012;91(12):2267–2276. DOI: 10.1080/00036811.2011.601297.
  8. Anderson JR, Deng K. Global solvability for the porous medium equation with boundary flux governed by nonlinear memory. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2015;423(2):1183–1202. DOI: 10.1016/j.jmaa.2014.10.041.
  9. Fang Zhong Bo, Zhang Jianyun. Global existence and blow-up properties of solutions for porous medium equation with nonlinear memory and weighted nonlocal boundary condition. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2015;66(1):67–81. DOI: 10.1007/s00033-013-0382-5.
  10. Zhou Jun, Yang Di. Blowup for a degenerate and singular parabolic equation with nonlocal source and nonlocal boundary. Applied Mathematics and Computation. 2015;256:881–884. DOI: 10.1016/j.amc.2015.01.096.
  11. Gladkov AL, Nikitin AI. On global existence of solutions of initial boundary value problem for a system of semilinear parabolic equations with nonlinear nonlocal Neumann boundary conditions. Differential Equations. 2018;54(1):86–105. DOI: 10.1134/S0012266118010081.
  12. Gladkov AL, Kavitova TV. On the initial-boundary value problem for a nonlocal parabolic equation with nonlocal boundary condition. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2018;1:29–38. Russian.
  13. Gladkov A, Guedda M. Global existence of solutions of a semilinear heat equation with nonlinear memory condition. Applicable Analysis. 2020;99(16):2823–2832. DOI: 10.1080/00036811.2019.1584291.
  14. Gladkov A, Kavitova T. Global existence of solutions of initial boundary value problem for nonlocal parabolic equation with nonlocal boundary condition. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020;43(8):5464–5479. DOI: 10.1002/mma.6286.
  15. Liang Mengyang, Fang Zhong Bo. Blow-up phenomenon for a reaction – diffusion equation with weighted nonlocal gradient absorption terms. Mediterranean Journal of Mathematics. 2021;18(4):160. DOI: 10.1007/s00009-021-01795-5.
  16. Lu Heqian, Hu Bei, Zhang Zhengce. Blowup time estimates for the heat equation with a nonlocal boundary condition. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2022;73(2):60. DOI: 10.1007/s00033-022-01698-9.
  17. Huo Wentao, Fang Zhong Bo. Blow-up analysis for heat equation with a nonlocal weighted exponential boundary flux. Mediterranean Journal of Mathematics. 2023;20(3):131. DOI: 10.1007/s00009-023-02354-w.
  18. Gladkov A. Initial boundary value problem for a semilinear parabolic equation with absorption and nonlinear nonlocal boundary condition. Lithuanian Mathematical Journal. 2017;57(4):468–478. DOI: 10.1007/s10986-017-9376-x.
  19. Gladkov A. Blow-up problem for semilinear heat equation with nonlinear nonlocal Neumann boundary condition. Communications on Pure and Applied Analysis. 2017;16(6):2053–2068. DOI: 10.3934/cpaa.2017101.
  20. Gladkov A, Kavitova T. Blow-up problem for semilinear heat equation with nonlinear nonlocal boundary condition. Applicable Analysis. 2016;95(9):1974–1988. DOI: 10.1080/00036811.2015.1080353.
  21. Gladkov AL, Kavitova TV. Initial boundary value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions. Ukrainian Mathematical Journal. 2016;68(2):162–174. DOI: 10.1007/s11253-016-1217-2.
  22. Liu D, Mu C, Ahmed I. Blow-up for a semilinear parabolic equation with nonlinear memory and nonlocal nonlinear boundary. Taiwanese Journal of Mathematics. 2013;17(4):1353–1370. DOI: 10.11650/tjm.17.2013.2648.
  23. Pao CV. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York: Springer Science & Business Media; 1992. XV, 777 p. DOI: 10.1007/978-1-4615-3034-3.
  24. Kahane CS. On the asymptotic behavior of solutions of parabolic equations. Czechoslovak Mathematical Journal. 1983;33(2):262–285.
  25. Ladyženskaja OA, Solonnikov VA, Ural’ceva NN. Linear and quasi-linear equations of parabolic type. Providence: American Mathematical Society; 1968. 648 p. (Translations of mathematical monographs; volume 23).
  26. Hu Bei. Blow-up theories for semilinear parabolic equations. Berlin: Springer-Verlag; 2011. X, 127 p. (Lecture notes in mathematics; volume 2018). DOI: 10.1007/978-3-642-18460-4_1.
  27. Cortázar C, del Pino M, Elgueta M. On the short-time behavior of the free boundary of a porous medium equation. Duke Mathematical Journal. 1997;87(1):133–149. DOI: 10.1215/S0012-7094-97-08706-8.
Опубликован
2023-07-23
Ключевые слова: нелинейное параболическое уравнение, нелокальное граничное условие, существование решения, принцип сравнения
Как цитировать
Гладков, А. Л. (2023). Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для нелинейного параболического уравнения с памятью. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 2, 18-27. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2023-2-18-27
Раздел
Дифференциальные уравнения и оптимальное управление