Начально-краевая задача с нелокальным граничным условием для нелинейного параболического уравнения с памятью
Аннотация
Рассмотрено нелинейное параболическое уравнение с памятью ut=Δu+aupt∫0uq(x,τ)dτ−bum для (x,t)∈Ω×(0,+∞) с нелинейным нелокальным граничным условием ∂u(x,t)∂v|∂Ω×(0,+∞)=∫Ωk(x,y,t)ul(y,t)dy и начальными данными u(x,0)=u0(x),x∈Ω, где a,b,q,m,l - положительные постоянные; p≥0; Ω - ограниченная область в пространстве Rn с гладкой границей ∂Ω; v - единичная внешняя нормаль к ∂Ω. Неотрицательная непрерывная функция k(x,y,t) определена при x∈∂Ω,y∈ˉΩ,t≥0, неотрицательная функция u0(x)∈C1(ˉΩ), при этом она удовлетворяет условию ∂u0(x)∂v=∫Ωk(x,y,0)ul0(y)dy при x∈∂Ω. Рассмотрены классические решения. Установлено существование локального максимального решения исходной задачи. Введены понятия верхнего и нижнего решений. Показано, что при выполнении определенных условий верхнее решение не меньше нижнего решения. Найдены условия положительности решений. Как следствие положительности решений и принципа сравнения решений доказана теорема единственности решения.
Литература
- Friedman A. Monotonic decay of solutions of parabolic equations with nonlocal boundary conditions. Quarterly of Applied Mathematics. 1986;44(3):401–407. DOI: 10.1090/qam/860893.
- Deng K. Comparison principle for some nonlocal problems. Quarterly of Applied Mathematics. 1992;50(3):517–522. DOI: 10.1090/qam/1178431.
- Souplet P. Blow-up in nonlocal reaction – diffusion equations. SIAM Journal of Mathematical Analysis. 1998;29(6):1301–1334. DOI: 10.1137/S0036141097318900.
- Cui Zhoujin, Yang Zuodong. Roles of weight functions to a nonlinear porous medium equation with nonlocal source and nonlocal boundary condition. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2008;342(1):559–570. DOI: 10.1016/j.jmaa.2007.11.055.
- Mu Chunlai, Liu Dengming, Zhou Shouming. Properties of positive solutions for a nonlocal reaction – diffusion equation with nonlocal nonlinear boundary condition. Journal of the Korean Mathematical Society. 2010;47(6):1317–1328. DOI: 10.4134/JKMS. 2010.47.6.1317.
- Gladkov A, Guedda M. Blow-up problem for semilinear heat equation with absorption and a nonlocal boundary condition. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2011;74(13):4573–4580. DOI: 10.1016/j.na.2011.04.027.
- Gladkov A, Guedda M. Semilinear heat equation with absorption and a nonlocal boundary condition. Applicable Analysis. 2012;91(12):2267–2276. DOI: 10.1080/00036811.2011.601297.
- Anderson JR, Deng K. Global solvability for the porous medium equation with boundary flux governed by nonlinear memory. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2015;423(2):1183–1202. DOI: 10.1016/j.jmaa.2014.10.041.
- Fang Zhong Bo, Zhang Jianyun. Global existence and blow-up properties of solutions for porous medium equation with nonlinear memory and weighted nonlocal boundary condition. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2015;66(1):67–81. DOI: 10.1007/s00033-013-0382-5.
- Zhou Jun, Yang Di. Blowup for a degenerate and singular parabolic equation with nonlocal source and nonlocal boundary. Applied Mathematics and Computation. 2015;256:881–884. DOI: 10.1016/j.amc.2015.01.096.
- Gladkov AL, Nikitin AI. On global existence of solutions of initial boundary value problem for a system of semilinear parabolic equations with nonlinear nonlocal Neumann boundary conditions. Differential Equations. 2018;54(1):86–105. DOI: 10.1134/S0012266118010081.
- Gladkov AL, Kavitova TV. On the initial-boundary value problem for a nonlocal parabolic equation with nonlocal boundary condition. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2018;1:29–38. Russian.
- Gladkov A, Guedda M. Global existence of solutions of a semilinear heat equation with nonlinear memory condition. Applicable Analysis. 2020;99(16):2823–2832. DOI: 10.1080/00036811.2019.1584291.
- Gladkov A, Kavitova T. Global existence of solutions of initial boundary value problem for nonlocal parabolic equation with nonlocal boundary condition. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2020;43(8):5464–5479. DOI: 10.1002/mma.6286.
- Liang Mengyang, Fang Zhong Bo. Blow-up phenomenon for a reaction – diffusion equation with weighted nonlocal gradient absorption terms. Mediterranean Journal of Mathematics. 2021;18(4):160. DOI: 10.1007/s00009-021-01795-5.
- Lu Heqian, Hu Bei, Zhang Zhengce. Blowup time estimates for the heat equation with a nonlocal boundary condition. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik. 2022;73(2):60. DOI: 10.1007/s00033-022-01698-9.
- Huo Wentao, Fang Zhong Bo. Blow-up analysis for heat equation with a nonlocal weighted exponential boundary flux. Mediterranean Journal of Mathematics. 2023;20(3):131. DOI: 10.1007/s00009-023-02354-w.
- Gladkov A. Initial boundary value problem for a semilinear parabolic equation with absorption and nonlinear nonlocal boundary condition. Lithuanian Mathematical Journal. 2017;57(4):468–478. DOI: 10.1007/s10986-017-9376-x.
- Gladkov A. Blow-up problem for semilinear heat equation with nonlinear nonlocal Neumann boundary condition. Communications on Pure and Applied Analysis. 2017;16(6):2053–2068. DOI: 10.3934/cpaa.2017101.
- Gladkov A, Kavitova T. Blow-up problem for semilinear heat equation with nonlinear nonlocal boundary condition. Applicable Analysis. 2016;95(9):1974–1988. DOI: 10.1080/00036811.2015.1080353.
- Gladkov AL, Kavitova TV. Initial boundary value problem for a semilinear parabolic equation with nonlinear nonlocal boundary conditions. Ukrainian Mathematical Journal. 2016;68(2):162–174. DOI: 10.1007/s11253-016-1217-2.
- Liu D, Mu C, Ahmed I. Blow-up for a semilinear parabolic equation with nonlinear memory and nonlocal nonlinear boundary. Taiwanese Journal of Mathematics. 2013;17(4):1353–1370. DOI: 10.11650/tjm.17.2013.2648.
- Pao CV. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York: Springer Science & Business Media; 1992. XV, 777 p. DOI: 10.1007/978-1-4615-3034-3.
- Kahane CS. On the asymptotic behavior of solutions of parabolic equations. Czechoslovak Mathematical Journal. 1983;33(2):262–285.
- Ladyženskaja OA, Solonnikov VA, Ural’ceva NN. Linear and quasi-linear equations of parabolic type. Providence: American Mathematical Society; 1968. 648 p. (Translations of mathematical monographs; volume 23).
- Hu Bei. Blow-up theories for semilinear parabolic equations. Berlin: Springer-Verlag; 2011. X, 127 p. (Lecture notes in mathematics; volume 2018). DOI: 10.1007/978-3-642-18460-4_1.
- Cortázar C, del Pino M, Elgueta M. On the short-time behavior of the free boundary of a porous medium equation. Duke Mathematical Journal. 1997;87(1):133–149. DOI: 10.1215/S0012-7094-97-08706-8.
Copyright (c) 2023 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.
Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:
- Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
- Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
- Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).