О рациональных суммах Абеля – Пуассона на отрезке и аппроксимациях функций Маркова

  • Павел Геннадьевич Поцейко Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь https://orcid.org/0000-0001-7835-0500
  • Евгений Алексеевич Ровба Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2021-3-6-24

Аннотация

Исследованы приближения на отрезке [−1, 1] функций Маркова суммами Абеля – Пуассона рационального интегрального оператора типа Фурье, ассоциированного с системой алгебраических дробей Чебышева – Маркова, в случае фиксированного числа геометрически различных полюсов. Найдены интегральное представление приближений и оценка равномерных приближений. Изучены приближения функций Маркова в случае, когда мера µ удовлетворяет условиям suppµ = [1, a], a > 1, dµ(t) = φ(t)dt и φ(t) ≍ (t − 1)α на [1, a]. Получены оценки поточечных и равномерных приближений и асимптотическое выражение мажоранты равномерных приближений. Найдены оптимальные значения параметров, при которых мажоранта имеет наибольшую скорость убывания. В качестве следствия приведены асимптотические оценки приближений на отрезке [−1, 1] исследуемым методом рациональной аппроксимации некоторых элементарных функций Маркова.

Биографии авторов

Павел Геннадьевич Поцейко, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

кандидат физико-математических наук; доцент кафедры фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Евгений Алексеевич Ровба, Гродненский государственный университет им. Янки Купалы, ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно, Беларусь

доктор физико-математических наук, профессор; заведующий кафедрой фундаментальной и прикладной математики факультета математики и информатики

Литература

  1. Natanson IP. [On the order of approximation of a continuous 2π-periodic function using its Poisson integral]. Doklady Akademii nauk SSSR. 1950;72(1):11–14. Russian.
  2. Timan AF. [Exact estimation of the remainder in the approximation of periodic differentiable functions by Poisson integrals]. Doklady Akademii nauk SSSR. 1950;74(1):17–20. Russian.
  3. Stark EL. [Complete asymptotic decomposition for the upper face of the deviation of functions from Lip1 from the singular Abel – Poisson integral]. Matematicheskie zametki. 1973;13(1):21–28. Russian.
  4. Zhuk VV. [On the order of approximation of a continuous 2π-periodic function using Feyer and Poisson averages of its Fourier series]. Matematicheskie zametki. 1968;4(1):21–32. Russian.
  5. Rusetsky YuI. [On the approximation of continuous functions on a segment by Abel – Poisson means]. Sibirskii matematicheskii zhurnal. 1968;9(1):136–144. Russian.
  6. Zhyhallo TV. Approximation of functions satisfying the Lipschitz condition on a finite segment of the real axis by Poisson – Chebyshev’s integrals. Problemy upravleniya i informatiki. 2018;3:46–58. Russian.
  7. Dzhrbashyan MM. [On the theory of Fourier series in terms of rational functions]. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoi SSR. Seriya: Matematika. 1956;9(7):3–28. Russian.
  8. Kitbalyan AA. [Decompositions by generalised trigonometric systems]. Izvestiya Akademii nauk Armyanskoi SSR. Seriya: Matematika. 1963;16(6):3–24. Russian.
  9. Markov AA. [Two proofs of convergence of some continuous fractions]. In: Izbrannye trudy po teorii nepreryvnykh drobei i teorii funktsii, naimenee uklonyayushchikhsya ot nulya [Selected works on the theory of continuous fractions and the theory of functions least deviating from zero]. Moscow: Gosudarstvennoe izdatel’stvo tekhniko-teoreticheskoi literatury; 1948. p. 106–119. Russian.
  10. Gonchar AA. [On the speed of rational approximation of some analytical functions]. Matematicheskii sbornik. 1978;105(2):147–163. Russian.
  11. Ganelius Т. Ortogonal polynomials and rational approximation of holomorphic function. In: Erdős P, Alpár L, Halász G, Sárközy A, editors. Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán. Basel: Birkhäuser; 1978. p. 237–243.
  12. Andersson J-E. Best rational approximation to Markov functions. Journal of Approximation Theory. 1994;76(2):219–232. DOI: 10.1006/jath.1994.1015.
  13. Pekarskii AA. [Best uniform rational approximations to Markov functions]. Algebra i analiz. 1995;7(2):121–132. Russian.
  14. Vyacheslavov NS, Mochalina EP. Rational approximations of functions of Markov – Stieltjes type in Hardy spaces Hp, 0 < p ≤ ∞. Moscow University Mathematics Bulletin. 2008;63(4):125–134. DOI: 10.3103/S0027132208040013.
  15. Starovoitov AP, Labych YuA. [Rational approximation of Markov functions generated by Borel measures of power type]. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki. 2009;1:69–73. Russian.
  16. Pekarskii AA, Rouba EA. [Uniform approximations of Stieltjes functions by orthogonal projection on the set of rational functions]. Matematicheskie zametki. 1999;65(3):362–368. Russian.
  17. Takenaka S. On the orthogonal functions and a new formula of interpolations. Japanese Journal of Mathematics: Transactions and Abstracts. 1925;2:129–145. DOI: 10.4099/jjm1924.2.0_129.
  18. Malmquist F. Sur la determination d’une classe functions analytiques par leurs dans un ensemble donne de points. In: Comptes rendus du Sixtiéme Сongrés des mathématiciens scandinaves. Copenhagen: [s. n.]; 1926. p. 253–259.
  19. Dzhrbashyan MM, Kitbalyan AA. [On a generalisation of Chebyshev polynomials]. Doklady Akademii nauk Armyanskoi SSR. 1964;38(5):263–270. Russian.
  20. Rovba EA, Mikulich EG. Constants in rational approximation of Markov – Stieltjes functions with fixed number of poles. Vesnik of Yanka Kupala State University of Grodno. Series 2. Mathematics. Physics. Informatics, Computer Technology and its Control. 2013;1:12–20.
  21. Lungu KN. [On best approximations by rational functions with a fixed number of poles]. Matematicheskii sbornik. 1971;86(2):314–324. Russian.
  22. Lungu KN. [On the best approximations by rational functions with a fixed number of poles]. Sibirskii matematicheskii zhurnal. 1984;25(2):151–160. Russian.
  23. Rouba YA. [On a direct method in a rational approximation]. Doklady Akademii nauk BSSR. 1979;23(11):968–971. Russian.
  24. Fichtenholz GM. Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniya. Tom 2 [Course of differential and integral calculus. Volume 2]. Moscow: Fizmatlit; 2003. 864 p. Russian.
  25. Patseika PG, Rouba YA, Smatrytski KA. On one rational integral operator of Fourier – Chebyshev type and approximation of Markov functions. Journal of the Belarusian State University. Mathematics and Informatics. 2020;2:6–27.
  26. Bernshtein SN. Ekstremal’nye svoistva polinomov i nailuchshee priblizhenie nepreryvnykh funktsii odnoi veshchestvennoi peremennoi. Chast’ 1 [Extremal properties of polynomials and the best approximation of continuous functions of one real variable. Part 1]. Moscow: Glavnaya redaktsiya obshchetekhnicheskoi literatury; 1937. 200 p. (Matematika v monografiyakh). Russian.
Опубликован
2021-11-19
Ключевые слова: функции Маркова, рациональные интегральные операторы, суммы Абеля – Пуассона, алгебраические дроби Чебышева – Маркова, наилучшие приближения, асимптотические оценки, точные константы
Как цитировать
Поцейко, П. Г., & Ровба, Е. А. (2021). О рациональных суммах Абеля – Пуассона на отрезке и аппроксимациях функций Маркова. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 3, 6-24. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2021-3-6-24
Выпуск
№ 3 (2021): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Вещественный, комплексный и функциональный анализ

Copyright (c) 2021 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).