Безматричные итерационные процессы со среднеквадратичным подавлением ошибки для больших систем нелинейных уравнений

  • Иван Васильевич Бондарь Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь
  • Борис Викторович Фалейчик Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

Аннотация

Рассмотрены итерационные процессы решения больших систем нелинейных уравнений, не требующие хранения и факторизации матрицы Якоби. Для ускорения сходимости в случае большого спектрального числа обусловленности этой матрицы предлагается специальная техника среднеквадратичного подавления ошибки, реализация которой требует решения линейной задачи наименьших квадратов небольшой размерности. В линейном случае полученный метод схож с предобусловленным обобщенным методом минимальных невязок. В нелинейном же случае в отличие от популярного безматричного метода Ньютона – Крылова разработанный подход не содержит операции разностной аппроксимации производной. Проведены вычислительные эксперименты на трех системах нелинейных уравнений, возникающих в результате конечно-разностной аппроксимации двумерных уравнений в частных производных эллиптического типа. Показано преимущество разработанного подхода по срав нению с методом Ньютона – Крылова на рассмотренных тестовых задачах.

Биографии авторов

Иван Васильевич Бондарь, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

ассистент кафедры вычислительной математики факультета прикладной математики и ин форматики

Борис Викторович Фалейчик, Белорусский государственный университет, пр. Независимости, 4, 220030, г. Минск, Беларусь

кандидат физико-математических наук; доцент кафедры вычислительной математики факультета прикладной математики и информатики

Литература

  1. Faleichik B., Bondar I., Byl V. Generalized Picard iterations: A class of iterated Runge – Kutta methods for stiff problems. J. Comput. Appl. Math. 2014. Vol. 262. P. 37 –50. DOI: 10.1016/j.cam. 2013.10.036.
  2. Saad Y. Iterative methods for Sparse Linear Systems. 2nd ed. Philadelphia : Siam, 2003.
  3. Knoll D. A., Keyes D. E. Jacobian-free Newton – Krylov methods: a survey of approaches and applications. J. Comput. Phys. 2004. Vol. 193, issue 2. P. 357–397 . DOI: 10.1016/j.jcp. 2003.08.010.
  4. Faddeev D. K., Faddeeva V. N. [Computational methods of linear algebra]. Moscow : Fizmatgiz, 1960 (in Russ.).
  5. Ortega J., Rheinboldt V. [Iterative methods for solving nonlinear equations with many unknowns]. Moscow : Mir, 1975 (in Russ.).
  6. Shapeev V. P., Vorozhtsov E. V., Isaev V. I., et al. [The method of collocations and least residuals for three-dimensional Navier – Stokes equations]. Vychisl. metody program. [Numer. Methods Program.]. 2013. No. 14. P. 306 –322 (in Russ.).
  7. Kurosh A. G. [The course of higher algebra]. 9th ed. Moscow : Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoi literatury, 1968 (in Russ.).
  8. Trefethen L. N., Bau D. III. Numerical Linear Algebra. Philadelphia : Siam, 1997.
  9. Samarsky A. A. [The theory of difference schemes]. Moscow : Nauka, 1977 (in Russ.).
  10. Baker A. H., Jessup E. R., Manteuffel T. A Technique for Accelerating the Convergence of Restarted GMRES. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 2005. Vol. 26, issue 4. P. 962– 984. DOI: 10.1137/S0895479803422014.
  11. Walker H., Peng N. Anderson acceleration for fixed-point iterations. SIAM J. Numer. Anal. 2011. Vol. 49, issue 4. P. 1715–1735. DOI: 10.1137/10078356X.
  12. Toth A., Kelley C. T. Convergence Analysis for Anderson Acceleration. SIAM J. Numer. Anal. 2015. Vol. 53, issue 2. P. 805–819. DOI: 10.1137/130919398.
Опубликован
2018-02-14
Ключевые слова: cистемы нелинейных уравнений, безматричные методы, ускорение сходимости, метод наименьших квадратов, метод Ньютона – Крылова, разностные схемы
Как цитировать
Бондарь, И. В., & Фалейчик, Б. В. (2018). Безматричные итерационные процессы со среднеквадратичным подавлением ошибки для больших систем нелинейных уравнений. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 3, 73-84. Доступно по https://journals.bsu.by/index.php/mathematics/article/view/759
Выпуск
№ 3 (2017): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Вычислительная математика

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).