О количестве алгебраических чисел в коротких интервалах, содержащих рациональные точки

  • Василий Иванович Берник Институт математики НАН Беларуси, ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск, Беларусь
  • Фридрих Гётце Университет Билефельда, Университетсштрассе, 25, D­33615, г. Билефельд, Германия
  • Николай Иванович Калоша Университет Билефельда, Университетсштрассе, 25, D­33615, г. Билефельд, Германия
DOI: https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-4-11

Аннотация

В 2012 г. доказано, что действительные алгебраические числа распределены неравномерно, но регулярно согласно определениям Г. Вейля (1916) и А. Бейкера, В. Шмидта (1970). Особенно неравномерно они распределены в окрестностях рациональных чисел с малыми знаменателями. В данной статье впервые перечислены условия, которым должны удовлетворять короткие интервалы, чтобы им принадлежало много действительных алгебраических чисел. При выполнении таких условий распределение алгебраических чисел приобретает черты регулярности, что уже предполагает наличие законов приближения трансцендентных чисел алгебраическими числами. Это, в свою очередь, дает шансы на доказательство гипотезы Вирзинга о приближении действительных чисел алгебраическими и целыми алгебраическими числами.

Биографии авторов

Василий Иванович Берник, Институт математики НАН Беларуси, ул. Сурганова, 11, 220072, г. Минск, Беларусь

доктор физико-­математических наук, профессор; главный научный сотрудник отдела теории чисел

Фридрих Гётце, Университет Билефельда, Университетсштрассе, 25, D­33615, г. Билефельд, Германия

доктор наук (математика), профессор математики

Николай Иванович Калоша, Университет Билефельда, Университетсштрассе, 25, D­33615, г. Билефельд, Германия

кандидат физико-­математи­ческих наук; научный сотрудник отдела теории чисел

Литература

  1. Weyl H. Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. Mathematische Annalen. 1916;77(3):313–352. DOI: 10.1007/BF01475864.
  2. Kuipers L, Niederreiter H. Uniform distribution of sequences. New York: Wiley; 1974. 390 p.
  3. Baker A, Schmidt WM. Diophantine approximation and Hausdorff dimension. Proceedings of the London Mathematical Society. 1970;21:1–11. DOI: 10.1112/plms/s3­21.1.1.
  4. Bernik VI. Application of the Hausdorff dimension in the theory of Diophantine approximations. American Mathematical Society Translations. 1988;40:15– 44.
  5. Khintchine A. Einige sätze über kettenbrüche, mit anwendungen auf die theorie der Diophantischen approximationen. Mathematische Annalen. 1924;92(1–2):115–125. DOI: 10.1007/BF01448437.
  6. Bernik VI. O tochnom poryadke priblizheniya nulya znacheniyami tselochislennykh mnogochlenov [The exact order of approximating zero by values of integral polynomials]. Acta Arithmetica. 1989;53(1):17–28. Russian.
  7. Bernik VI, Dodson MM. Metric Diophantine Approximation on Manifolds. Cambridge: Cambridge University Press; 1999. 172 p. (Cambridge Tracts in Mathematics; 137).
  8. Beresnevich VV. A Groshev type theorem for convergence on manifolds. Acta Mathematica Hungarica. 2002;94(1–2):99 –130.
  9. Bernik VI, Kleinbock D, Margulis GA. Khintchine­type theorems on manifolds: the convergence case for standard and multiplicative versions. International Mathematics Research Notices. 2001;9:453– 486.
  10. Beresnevich VV, Bernik VI, Kleinbock D, Margulis GA. Metric Diophantine approximation: The Khintchine – Groshev theorem for nondegenerate manifolds. Moscow Mathematical Journal. 2002;2(2):203–225.
  11. Bernik VI, Götze F. Distribution of real algebraic numbers of arbitrary degree in short intervals. Izvestiya: Mathematics. 2015;79(1):18–39. DOI: 10.1070/IM2015v079n01ABEH002732.
  12. Kaliada D. Ab razmerkavanni rjechaisnyh algebraichnyh likaw dadzenaj stupeni [Distribution of real algebraic numbers of a given degree]. Doklady Natsional’noi akademii nauk Belarusi. 2012;56(3):28–33. Belarusian.
  13. Bugeaud Y. Approximation by Algebraic Numbers. Cambridge: Cambridge University Press; 2004. 290 p. (Cambridge Tracts in Mathematics; 160). DOI: 10.2277/0521823293.
  14. Bernik VI, Götze F, Gusakova AG. On points with algebraically conjugate coordinates close to smooth curves. Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 2016;6(2–3):57–100.
  15. Cassels JWS. An Introduction to Diophantine Approximation. Cambridge: Cambridge University Press; 1957. 168 p. (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics; 45).
  16. Sprindzhuk VG. Problema Malera v metricheskoi teorii chisel [Mahler’s problem in metric number theory]. Minsk: Nauka i tekhnika; 1967. 184 p. Russian.
Опубликован
2019-04-08
Ключевые слова: алгебраическое число, диофантовы приближения, равномерное распределение, теорема Дирихле, теорема Хинчина
Как цитировать
Берник, В. И., Гётце, Ф., & Калоша, Н. И. (2019). О количестве алгебраических чисел в коротких интервалах, содержащих рациональные точки. Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика, 1, 4-11. https://doi.org/10.33581/2520-6508-2019-1-4-11
Выпуск
№ 1 (2019): Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика
Раздел
Математическая логика, алгебра и теория чисел

Copyright (c) 2019 Журнал Белорусского государственного университета. Математика. Информатика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).