Прецизионные методы решения уравнения Шрёдингера с сингулярными потенциалами в импульсном пространстве

  • Виктор Васильевич Андреев Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины, ул. Советская, 104, 246019, г. Гомель, Беларусь

Аннотация

Прецизионный расчет энергетических поправок водородоподобных систем является актуальной проблемой, поскольку экспериментальные измерения таких значений выполняются с высокой точностью. В работе исполь-зуются новые специальные квадратурные формулы для сингулярных и гиперсингулярных интегралов при чис-ленном решении уравнения Шрёдингера в импульсном пространстве с потенциалом линейного запирания, куло-новским и корнельским потенциалами. Показано, что энергетический спектр квантовой системы в этом случае может быть рассчитан с точностью, намного превосходящей таковую других методов. Разработанная процедура расчета энергетических спектров легко обобщается на релятивистские уравнения, где потенциалы обычно полу-чены в импульсном пространстве, и может быть применена для изучения и вычисления различных эффектов в двухчастичных квантовых системах, таких как водородоподобные атомы, адронные атомы и связанные кварко-вые системы.

Биография автора

Виктор Васильевич Андреев, Гомельский государственный университет им. Франциска Скорины, ул. Советская, 104, 246019, г. Гомель, Беларусь

доктор физико-математических наук; профессор кафедры теоретической физики факультета физики и информационных технологий

Литература

  1. BeteHA, SalpeterEE. Arelativistic equation for bound-state problems. Physical Review.1951;84(6):1232–1242. DOI: 10.1103/ PhysRev.84.1232.
  2. Salpeter EE. Mass-corrections to the fine structure of Hydrogen-like atoms. Physical Review. 1952;87(2):328–343. DOI: 10.1103/PhysRev.87.328.
  3. Savkli C, Gross M. Quark-antiquark bound states in the relativistic spectator formalism. Physical Review C. 2001;63:035208. DOI: 110.1103/PhysRevC.63.035208.
  4. Keister BD, Polyzou WN. Relativistic Hamiltonian dynamics in nuclear and particle physics. Advances in Nuclear Physics. 1991;20:225– 479.
  5. Bete HA, Salpeter EE. Quantum mechanics of one and two­electron atoms. Berlin – Göttingen – Heidelberg: Springer; 1957. 6. Eyre D, Vary JP. Solving momentum space integral equations for quarkonia spectra with confining potentials. Physical Re­view D. 1986;34(11):3467–3471. DOI: 10.1103/PhysRevD.34.3467.
  6. Gammel J, Menzel M. Bethe-Salpeter equation: numerical experience with a hydrogenlike atom.Physical ReviewA. 1973;7(3):858.
  7. Kwon YR, Tabakin F. Hadronic atoms in momentum space. Physical Review C. 1978;18(2):932–943. DOI: 10.1103/PhysRevC.18.932.
  8. Mainland G. Logarithmic singularities in two-body, bound-state integral equations. Journal of Computational Physics. 2001; 174(2):852–869. DOI: 10.1006/jcph.2001.6941.
  9. Norbury JW, Maung KM, Kahana DE. Numerical tests of the Landé subtraction method for the Coulomb potential in momen-tum space. Physical Review A. 1994;50(3):2075–2079. DOI: 10.1103/PhysRevA.50.2075.
  10. Norbury JW, Maung KM, Kahana DE. Exact numerical solution of the spinless Salpeter equation for the Coulomb potential in momentum space. Physical Review A. 1994;50:3609 –3613. DOI: 10.1103/PhysRevA.50.3609.
  11. Norbury JW, Maung KM, Kahana DE. Solution of two-body relativistic bound-state equations with confining plus Coulomb interactions. Physical Review D. 1993;47(3):1182–1189. DOI: 10.1103/PhysRevD.47.1182.
  12. Chen J-K. Nystrom method for the Coulomb and screened Coulomb potentials. Few­Body Systems. 2013;54(11):2081–2095. DOI: 10.1007/s00601-013-0713-2.
  13. Spence JR, Vary JP. Solving momentum space integral equations for quarkonium spectra with confining potentials. 3: Bethe-Salpeter equation with spin. Physical Review C. 1993;47(3):1282–1293. DOI: 10.1103/PhysRevC.47.1282.
  14. Hersbach H. Relativistic linear potential in momentum space. Physical Review D. 1993;47(7):3027–3033. DOI: 10.1103/Phys-RevD.47.3027.
  15. Norbury JW, Maung KM, Kahana DE. Confining potential in momentum space. Canadian Journal of Physics. 1992;70:86 –89.
  16. Tang A, Norbury JW. The Nyström plus correction method for solving bound state equations in momentum space. Physical Review E. 2001;63(6 –2):066703. DOI: 10.1103/PhysRevE.63.066703.
  17. Deloff A. Quarkonium bound-state problem in momentum space revisited. Annals of Physics. 2007;322:2315–2326. DOI: 10.1016/j.aop.2006.10.004.
  18. Chen J-K. Spectral method for the Cornell and screened Cornell potentials in momentum space. Physical Review D. 2013; 88(7):076006. DOI: 10.1103/PhysRevD.88.076006.
  19. Chen J-K. Extended Simpson’s rule for the screened Cornell potential in momentum space.Physical ReviewD. 2012;86(3):036013. DOI: 10.1103/PhysRevD.86.036013.
  20. Leitão S, Stadler A, Peña MT, Biernat EP. Linear confinement in momentum space: singularity-free bound-state equations. Physical Review D. 2014;90(9):096003. DOI: 10.1103/PhysRevD.90.096003.
  21. Kang D, Won E. Precise numerical solutions of potential problems using Crank-Nicholson method. Journal of Computational Physics. 2008;227(5):2970 –2976. DOI: 10.1016/j.jcp.2007.11.028.
  22. Udem Th, Huber A, Gross B, Reichert J, Prevedelli M, Weitz M, Hänsch TW. Phase-coherent measurement of the hydrogen 1S – 2S transition frequency with an optical frequency interval divider chain. Physical Review Letters. 1997;79(14):2646 –2649. DOI: 10.1103/PhysRevLett.79.2646.
  23. LiuW, BoshierMG, DhawanS, van DyckO, EganP, FeiF, etal. High precision measurements of the ground state hyperfine structure interval of muonium and of the muon magnetic moment. Physical Review Letters. 1999;82:711–714. DOI: 10.1103/PhysRevLett.82.711.
  24. Chan Y-S, Fannjiang AC, Paulino GH. Integral equations with hypersingular kernels – theory and applications to fracture me-chanics. International Journal of Engineering Science. 2003;41(7):683–720. DOI: 10.1016/S0020-7225(02)00134-9.
  25. Bichi SL, Eshkuvatov ZK, Nik Long NMA. An automatic quadrature schemes and error estimates for semibounded weighted hadamard type hypersingular integrals. Abstract and Applied Analysis.2014;2014:1–13. Article ID: 387246. DOI: 10.1155/2014/387246.
  26. Chen ZA, Zhou Y. New method for solving hypersingular integral equations of the first kind. Applied Mathematics Letters. 2011;24(5):636 – 641. DOI: 10.1016/j.aml.2010.11.028.
  27. Sheshko MA. [On the convergence of quadrature processes for the singular integral]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Matematika. 1976;12:108 –118. Russian.
  28. Deloff A. Semi-spectral Chebyshev method in quantum mechanics. Annals of Physics. 2007;322:1373–1419. DOI: 10.1016/ j.aop.2006.07.004.
  29. KahanaDE, MaungKM, NorburyJW. Regge trajectories from the two-body, bound-state Thompson equation using aquark-con-fining interaction in momentum space. Physical Review D. 1993;48(7):3408–3409. DOI: 10.1103/PhysRevD.48.3408.
  30. Andreev VV. On solving the Schrödinger equation with hypersingular kernel in momentum space. Problems of Physics, Mathe­ matics and Technics. 2016;1(26):7–10. Russian.
  31. Andreev VV. Precision solution of the Schrödinger equation with Coulomb and linear confining potentials in momentum space. Physics of Particles and Nuclei Letters. 2017;14(1):66 –76. DOI: 10.1134/S1547477117010034.
  32. Mason JC, Handscomb DC. Chebyshev polynomials. Boca Raton – London – New York – Washington: Chapman & Hall/ CRC; 2002.
  33. Wolfram S. The Mathematica Book: Wolfram Research. 5th edition. [Place unknown]: Wolfram Media; 2003. 1488 p.
  34. Fulcher LP, Chen Z, Yeong KC. Energies of quark – anti-quark systems, the Cornell potential, and the spinless Salpeter equa-tion. Physical Review D. 1993;47(9):4122– 4132. DOI: 10.1103/PhysRevD.47.4122.
Опубликован
2019-02-10
Ключевые слова: гиперсингулярный интеграл, уравнение Шрёдингера, импульсное пространство, квадратурные формулы
Поддерживающие организации Работа была поддержана Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований (договор № Ф17Д-001 от 01.06.2017 г.). Автор благодарен Самарскому университету (Россия) за техническую поддержку численных расчетов в системе Wolfram Mathematics.
Как цитировать
Андреев, В. В. (2019). Прецизионные методы решения уравнения Шрёдингера с сингулярными потенциалами в импульсном пространстве. Журнал Белорусского государственного университета. Физика, 1, 97-109. Доступно по https://journals.bsu.by/index.php/physics/article/view/1387
Выпуск
№ 1 (2019): Журнал Белорусского государственного университета. Физика
Раздел
Физика квантовых систем

Copyright (c) 2019 Журнал Белорусского государственного университета. Физика

Лицензия Creative Commons

Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution-NonCommercial» («Атрибуция — Некоммерческое использование») 4.0 Всемирная.

Авторы, публикующиеся в данном журнале, соглашаются со следующим:

  1. Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial. 4.0 International (CC BY-NC 4.0).
  2. Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоренности, касающиеся неэксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге) со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.
  3. Авторы имеют право размещать их работу в интернете (например, в институтском хранилище или на персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу. (См. The Effect of Open Access).